高考数学一轮总复习 第五单元 平面向量与复数 课时3 平面向量的数量积教案 文（含解析）新人教A版-新人教A版高三全册数学教案VIP免费

平面向量的数量积1．理解和掌握平面向量的数量积及其几何意义．2．掌握平面向量数量积的性质、运算律及其运算．3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．知识梳理1．两向量的夹角与垂直已知两个非零向量a，b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a，b的夹角，特别地，当a与b夹角为90°时，我们说a与b垂直，记作a⊥b.2．向量数量积的定义已知两个非零向量a，b，它们的夹角为θ，我们把数量|a|·|b|cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a|·|b|cosθ.规定0与任一向量的数量积为0.3．a·b的几何意义(1)一个向量在另一个向量方向上的投影．设θ是向量a与b的夹角，则|a|cosθ叫做a在b方向上的投影，|b|cosθ叫做b在a方向上的投影．(2)a·b的几何意义：a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积．4．向量数量积的性质a，b是两个非零向量，它们的夹角为θ.(1)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|；特别地，a·a＝a2＝|a|2或|a|＝.(2)a·b＝0a⊥b.(3)cosθ＝.(4)|a·b|≤|a||b|.5．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)．(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ∈R)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.6．向量数量积的坐标表示(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.(2)若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，|a|＝.(3)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝，此时为两点间的距离公式．(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥bx1x2＋y1y2＝0.(5)a，b是两个非零向量，它们的夹角为θ，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cosθ＝.1．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b<0且a，b不共线．2．平面向量数量积的常用公式(1)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.(2)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.(3)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.热身练习1．在边长为1的等边△ABC中，设BC＝a，CA＝b，AB＝c，则a·b＋b·c＋c·a等于(A)A．－B．0C.D．3因为a，b＝120°，所以a·b＝1×1×cos120°＝－，同理，b·c＝c·a＝－，所以a·b＋b·c＋c·a＝－.2．若a＝(4,2)，b＝(－4,3)，则a在b方向上的投影是(D)A．－5B.C.D．－2设a，b的夹角为θ，因为a·b＝|a||b|cosθ，所以a在b上的投影为|a|cosθ＝＝＝＝－2.3．已知a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝(C)A．－1B．0C．1D．2由题意可得a2＝2，a·b＝－3，所以(2a＋b)·a＝2a2＋a·b＝4－3＝1.4．(2018·北京卷)已知向量a＝(1,0)，b＝(－1，m)．若a⊥(ma－b)，则m＝－1.因为a＝(1,0)，b＝(－1，m)，所以ma－b＝(m＋1，－m)．又a⊥(ma－b)，所以a·(ma－b)＝0，即m＋1＝0，解得m＝－1.5．(2016·北京卷)已知向量a＝(1，)，b＝(，1)，则a与b夹角的大小为.由题意得|a|＝＝2，|b|＝＝2，a·b＝1×＋×1＝2.设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝.因为θ∈[0，π]，所以θ＝.向量的数量积、模已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，则：(1)(2a－b)·(a＋3b)＝____________；(2)|a＋b|＝__________.因为|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，所以a·b＝|a||b|cos120°＝2×3×(－)＝－3.(1)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2|a|2＋5a·b－3|b|2＝8－15－27＝－34.(2)|a＋b|＝＝＝＝.(1)－34(2)(1)求平面向量的数量积的基本方法：①利用定义；②利用坐标运算；③利用运算律．(2)利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：①a2＝a·a＝|a|2或|a|＝；②|a±b|＝＝；③若a＝(x，y)，则|a|＝.1．(1)(经典真题)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AE·BD＝2.(2)(经典真题)设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝(A)A．1B．2C．3D．5(1)以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，D(0,2)，E(1,2)，所以AE＝(1,2)，BD＝(－2,2)，所以AE·BD＝1×(－2)＋2×2＝2.(2)因为|a＋b|＝，所以a2＋2a·b＋b2＝10，①又|a－b|＝，所以a2－2a·b＋b2＝6.②①－②得4a·b＝4，所以a·b＝1.向量的夹角(2017·山东...