5.3平面向量的数量积一、明确复习目标1.掌握平面向量的数量积及其几何意义;掌握向量垂直的条件;2.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题.二．建构知识网络1两个向量的数量积：(1)设两个非零向量与,称∠AOB=为向量与的夹角，(00≤θ≤1800)，当非零向量与同方向时，θ=00，当与反方向时θ=1800，与其它非零向量不谈夹角问题（2）数量积的定义：·=︱︱·︱︱cos,叫做与的数量积;规定,其中︱︱cos∈R，叫向量在方向上的投影.2.数量积的几何意义：·等于的长度与在方向上的投影的乘积.3．平面向量数量积的运算律：①交换律成立：②对实数的结合律成立：③分配律成立：④乘法公式成立：；特别注意：（1）结合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到（3）=0不能得到=或=4．两个向量的数量积的坐标运算：已知，则·=5．向量数量积的性质：（1）⊥·＝O（2）当与同向时，当与反向时，一般地特别地：——向量运算与模的转化。（3）求夹角：cos==若则夹角为锐角或00;若则夹角为钝角或1800.（4）。三、双基题目练练手1．（2006北京）若与都是非零向量，则“”是“”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件()（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件2．(2005江西)．已知向量=(1,2),=(-2,-4)，||=若则与的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°3．(2006陕西)已知非零向量AB与AC满足(+)·BC=0且·=,则△ABC为()A三边均不相等的三角形B直角三角形C等腰非等边三角形D等边三角形4．(2005浙江)．已知向量≠，||＝1，对任意t∈R，恒有|－t|≥|－|，则()A.⊥B.⊥(－)C.⊥(－)D.(＋)⊥(－)5．与向量的夹角相等，且模为1的向量=______6.已知且关于的方程有实根,则与的夹角的取值范围是________7.(2006天津)设向量与的夹角为，且，，则__________．8.(2006天津)设函数，点表示坐标原点，点，若向量，是与的夹角，（其中），设，则=．简答:1-4.CCDC;4.利用图形分析,5.或;6.;7.;8.1.四、经典例题做一做【例1】已知向量的夹角为钝角,求m的取值范围.解:夹角为钝角则解得又当时,,∴m的取值范围是【例2】已知两单位向量与的夹角为，若，试求与的夹角。解：由题意，且与的夹角为所以，，，同理可得而，设为与的夹角，则【例3】已知向量,,且满足关系,(k为正实数).(1)求证:;(2)求将表示为k的函数f(k).(3)求函数f(k)的最小值及取最小值时的夹角θ.解(1)证明:(2)(3)当且仅当即k=1时,故f(x)的最小值是此时【例4】如图，四边形MNPQ是⊙C的内接梯形，C是圆心，CQPMNCOxyABCDE在MN上，向量与的夹角为120°，·=2.（1）求⊙C的方程；（2）求以M、N为焦点且过点P、Q的椭圆的方程.剖析：需先建立直角坐标系，为了使所求方程简单，需以C为原点，MN所在直线为x轴，求⊙C的方程时，只要求半径即可，求椭圆的方程时，只需求a、b即可.解：（1）以MN所在直线为x轴，C为原点，建立直角坐标系xOy. 与的夹角为120°，故∠QCM=60°.于是△QCM为正三角形，∠CQM=60°.又·=2，即||||cos∠CQM=2，于是r=||=2.故⊙C的方程为x2+y2=4.（2）依题意2c=4，2a=|QN|+|QM|，而|QN|==2，|QM|=2，于是a=+1，b2=a2－c2=2.∴所求椭圆的方程为+=1.【研讨.欣赏】如图，△AOE和△BOE都是边长为1的等边三角形，延长OB到C使|BC|＝t(t>0)，连AC交BE于D点．⑴用t表示向量和的坐标；⑵求向量和的夹角的大小．解:⑴＝((t+1)，－(t+1))， ＝t，∴＝t，＝，又＝(，)，＝－＝(t，－(t+2))；∴＝(，－)，∴＝(，－)⑵ ＝(，－)，∴·＝·＋·＝又 ||·||＝·＝∴cos<，>＝＝，∴向量与的夹角为60°五．提炼总结以为师1.平面向量的数量积、几何意义及坐标表示;2.用数量积处理向量垂直问题，向量的长度、角度问题.3.向量与的夹角：（1）当a与必有公共起点，否则要平移；（2）0°≤〈，〉≤180°；（3）cos〈，〉==同步练习5.3平面向量的数量积【选择题】1.(2006湖北1)已知向量a=（，1），b是不平行于x轴的单位向量，且ab=,则b=（）A.（）B.（）C.（）D.（1，0）2.(2006四川)已知正六边形，下列向量的数量积中最大的是()（A）（B）（C）（D）3．（2004辽宁）已知点A（－2，0），B（3，0），动点P（x，y）满足·=x2，则点P的轨...
