5.3平面向量的数量积一、明确复习目标1.掌握平面向量的数量积及其几何意义;掌握向量垂直的条件;2.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题.二.建构知识网络1两个向量的数量积:(1)设两个非零向量与,称∠AOB=为向量与的夹角,(00≤θ≤1800),当非零向量与同方向时,θ=00,当与反方向时θ=1800,与其它非零向量不谈夹角问题(2)数量积的定义:·=︱︱·︱︱cos,叫做与的数量积;规定,其中︱︱cos∈R,叫向量在方向上的投影.2.数量积的几何意义:·等于的长度与在方向上的投影的乘积.3.平面向量数量积的运算律:①交换律成立:②对实数的结合律成立:③分配律成立:④乘法公式成立:;特别注意:(1)结合律不成立:;(2)消去律不成立不能得到(3)=0不能得到=或=4.两个向量的数量积的坐标运算:已知,则·=5.向量数量积的性质:(1)⊥·=O(2)当与同向时,当与反向时,一般地特别地:——向量运算与模的转化。(3)求夹角:cos==若则夹角为锐角或00;若则夹角为钝角或1800.(4)。三、双基题目练练手1.(2006北京)若与都是非零向量,则“”是“”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件()(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件2.(2005江西).已知向量=(1,2),=(-2,-4),||=若则与的夹角为()A.30°B.60°C.120°D.150°3.(2006陕西)已知非零向量AB与AC满足(+)·BC=0且·=,则△ABC为()A三边均不相等的三角形B直角三角形C等腰非等边三角形D等边三角形4.(2005浙江).已知向量≠,||=1,对任意t∈R,恒有|-t|≥|-|,则()A.⊥B.⊥(-)C.⊥(-)D.(+)⊥(-)5.与向量的夹角相等,且模为1的向量=______6.已知且关于的方程有实根,则与的夹角的取值范围是________7.(2006天津)设向量与的夹角为,且,,则__________.8.(2006天津)设函数,点表示坐标原点,点,若向量,是与的夹角,(其中),设,则=.简答:1-4.CCDC;4.利用图形分析,5.或;6.;7.;8.1.四、经典例题做一做【例1】已知向量的夹角为钝角,求m的取值范围.解:夹角为钝角则解得又当时,,∴m的取值范围是【例2】已知两单位向量与的夹角为,若,试求与的夹角。解:由题意,且与的夹角为所以,,,同理可得而,设为与的夹角,则【例3】已知向量,,且满足关系,(k为正实数).(1)求证:;(2)求将表示为k的函数f(k).(3)求函数f(k)的最小值及取最小值时的夹角θ.解(1)证明:(2)(3)当且仅当即k=1时,故f(x)的最小值是此时【例4】如图,四边形MNPQ是⊙C的内接梯形,C是圆心,CQPMNCOxyABCDE在MN上,向量与的夹角为120°,·=2.(1)求⊙C的方程;(2)求以M、N为焦点且过点P、Q的椭圆的方程.剖析:需先建立直角坐标系,为了使所求方程简单,需以C为原点,MN所在直线为x轴,求⊙C的方程时,只要求半径即可,求椭圆的方程时,只需求a、b即可.解:(1)以MN所在直线为x轴,C为原点,建立直角坐标系xOy. 与的夹角为120°,故∠QCM=60°.于是△QCM为正三角形,∠CQM=60°.又·=2,即||||cos∠CQM=2,于是r=||=2.故⊙C的方程为x2+y2=4.(2)依题意2c=4,2a=|QN|+|QM|,而|QN|==2,|QM|=2,于是a=+1,b2=a2-c2=2.∴所求椭圆的方程为+=1.【研讨.欣赏】如图,△AOE和△BOE都是边长为1的等边三角形,延长OB到C使|BC|=t(t>0),连AC交BE于D点.⑴用t表示向量和的坐标;⑵求向量和的夹角的大小.解:⑴=((t+1),-(t+1)), =t,∴=t,=,又=(,),=-=(t,-(t+2));∴=(,-),∴=(,-)⑵ =(,-),∴·=·+·=又 ||·||=·=∴cos<,>==,∴向量与的夹角为60°五.提炼总结以为师1.平面向量的数量积、几何意义及坐标表示;2.用数量积处理向量垂直问题,向量的长度、角度问题.3.向量与的夹角:(1)当a与必有公共起点,否则要平移;(2)0°≤〈,〉≤180°;(3)cos〈,〉==同步练习5.3平面向量的数量积【选择题】1.(2006湖北1)已知向量a=(,1),b是不平行于x轴的单位向量,且ab=,则b=()A.()B.()C.()D.(1,0)2.(2006四川)已知正六边形,下列向量的数量积中最大的是()(A)(B)(C)(D)3.(2004辽宁)已知点A(-2,0),B(3,0),动点P(x,y)满足·=x2,则点P的轨...