构造函数模型，求三角形的最值问题刘显伟构造法是一种重要的数学思想方法，利用构造法解题往往能起到很好的效果，下面举例说明如何构造函数模型求有关三角形的最值问题。1.构造函数模型，解三角形中有关涉及角的最值问题例1在△ABC中，已知三边a、b、c满足，求的取值范围。错解：因为，所以。错误剖析：若，，则，所以，这超出了三角形中内角的取值范围。事实上，条件还没有利用，因此应重新求B的取值范围。正解：由和正弦定理，可得。∴又，，所以，得。所以，，可知。因为，所以。说明：本题若能从函数的观点来观察、分析问题，上述的错解就可能不会发生，事实上，本题求的是函数的值域，而值域固然受对应法则f的制约，但它也依赖于函数的定义域，在这里为了求得自变量B的取值范围，应先求的取值范围，为此建立关于的不等式，至此，也就能理解为什么把变形为的理由了。2.构造函数模型，解三角形中有关涉及边的最值问题例2在△ABC中，已知，，求的最大值。分析：可利用正弦定理，将化为与c和A（或B）相关的等式，由此构造与A（或B）的函数关系，通过求函数的最值来获解。解：由正弦定理，得。用心爱心专心115号编辑∴因为，所以。∴。由，，所以当A（即）时，取得最大值。说明：本题是通过建立函数模型求解的，其关键是选择角A为自变量，并把视作整体，利用正弦定理和比例性质，将转化为与c和A相关的等式，构造与A的函数关系，然后利用余弦函数的有关性质，求出的最大值。3.构造函数模型，解三角形中有关涉及面积的最值问题例3已知三角形的两边之和为6，这两边的夹角为，求这个三角形面积S的最大值。错解：设△ABC的三边长分别为a、b、c，不妨设，，由余弦定理得。由，所以S的最大值为。错误剖析：当S取最大值时，，此时不能构成三角形，更谈不上三角形面积的最大值了，因此应重新确定c的取值范围。正解1：由上可知。由，从而ab，所以，可知S的最大值为。正解2：由，可得。所以。当，即时，S取得最大值。说明：求线段或图形面积的最大（或最小）值时，通常可建立函数模型求解，在建立目标函数的过程中，一定要正确把握自变量的取值范围，上述错解就是想当然地取，忽视了c的实际意义，即忽视了c的取值范围，在正解2中，也应检验自变量c的值是否在定义域（0，6）内。4.构造函数模型，证明不等式用心爱心专心115号编辑例4在△ABC中，a、b、c为三内角A、B、C所对的边，且C=2A，求证（解题中，公式可选用）分析：欲证不等式，只须证，为此，可尝试将看成某一角的三角函数，求得的值域即可。因此，本题可将不等式的证明转化为求三角函数的值域问题。证明：由正弦定理得，由C=2A，得。∴，可得。因，，所以，可得。∴，得。说明：证明不等式，固然可以利用比较法，分别证明不等式且，然而这种解法比较烦琐，若把证明的式子变形为，运用整体思想把看成是角A的函数，这样问题就转化为求的值域了。用心爱心专心115号编辑
