第三节平面向量的数量积及其应用1．向量的夹角定义图示范围共线与垂直已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB就是a与b的夹角设θ是a与b的夹角，则θ的取值范围是0°≤θ≤180°θ＝0°或θ＝180°⇔a∥b，θ＝90°⇔a⊥b2.平面向量的数量积设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b.3．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.4．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.结论几何表示坐标表示模|a|＝|a|＝夹角cosθ＝cosθ＝a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤[小题体验]1．已知|a|＝2，|b|＝6，a·b＝－6，则a与b的夹角θ为________．答案：2．已知向量a＝(－1,3)，b＝(1，t)，若(a－2b)⊥a，则|b|＝________.解析：因为a＝(－1,3)，b＝(1，t)，所以a－2b＝(－3,3－2t)．因为(a－2b)⊥a，所以(a－2b)·a＝0，即(－1)×(－3)＋3(3－2t)＝0，即t＝2，所以b＝(1,2)，所以|b|＝＝.答案：3．已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________.解析：由b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，得b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3e－2e1·e2－8e.因为e1，e2为单位向量，〈e1，e2〉＝，所以b1·b2＝3－2×－8＝－6.答案：－61．数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)不能得出b＝c，两边不能约去一个向量．2．两个向量的夹角为锐角，则有a·b＞0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有a·b＜0，反之不成立．3．a·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因为a·b＝0时，有可能a⊥b.4．在用|a|＝求向量的模时，一定要把求出的a2再进行开方．[小题纠偏]1．给出下列说法：①向量b在向量a方向上的投影是向量；②若a·b＞0，则a和b的夹角为锐角，若a·b＜0，则a和b的夹角为钝角；③(a·b)c＝a(b·c)；④若a·b＝0，则a＝0或b＝0.其中正确的说法有________个．答案：02．已知向量BA＝，BC＝，则∠ABC＝________.解析：因为BA＝，BC＝，所以BA·BC＝＋＝.所以cos∠ABC＝＝，又0°≤∠ABC≤180°，所以∠ABC＝30°.答案：30°3．已知平面向量a与b的夹角为，a＝(1，)，|a－2b|＝2，则|b|＝________.解析：因为a＝(1，)，所以|a|＝2，又|a－2b|＝2，即|a|2－4a·b＋4|b|2＝12，故22－4×2×|b|×cos＋4|b|2＝12，化简得|b|2－|b|－2＝0，所以|b|＝2.答案：2[题组练透]1．设a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，则(a＋2b)·c＝________.解析：因为a＋2b＝(1，－2)＋2(－3,4)＝(－5,6)，所以(a＋2b)·c＝(－5,6)·(3,2)＝－3.答案：－32．(2018·南京高三年级学情调研)在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝120°，BM＝λBC.若AM·BC＝－，则实数λ＝________.解析：因为BC＝AC－AB，AM＝AB＋BM＝AB＋λBC＝AB＋λ(AC－AB)＝(1－λ)AB＋λAC，AB·AC＝2×3×cos120°＝－3.所以AM·BC＝(λ－1)AB2＋λAC2＋(1－2λ)AB·AC＝19λ－12＝－，所以λ＝.答案：3．已知向量a与b的夹角为60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝，则a·b＝________.解析：因为a＝(－2，－6)，所以|a|＝＝2，又|b|＝，向量a与b的夹角为60°，所以a·b＝|a|·|b|·cos60°＝2××＝10.答案：104．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝2，D为BC的中点，则AB·AD＝________.解析：法一：由题意知，AC＝BC＝2，AB＝2，所以AB·AD＝AB·(AC＋CD)＝AB·AC＋AB·CD＝|AB|·|AC|cos45°＋|AB|·|CD|cos45°＝2×2×＋2×1×＝6.法二：建立如图所示的平面直角坐标系，由题意得A(0,2)，B(－2,0)，D(－1,0)，所以AB＝(－2,0)－(0,2)＝(－2，－2)，AD＝(－1,0)－(0,2)＝(－1，－2)，所以AB·AD＝－2×(－1)＋(－2)×(－2)＝6.答案：6[谨记通法]向量数量积的2种运算方法方法运用提示适用题型定义法当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b＝|a|·|b|cosθ适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题坐标法当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2适用于已...
