第2课时平面向量的综合应用题型一平面向量与数列例1(2018·浙江名校协作体考试)设数列{xn}的各项都为正数且x1＝1.△ABC内的点Pn(n∈N*)均满足△PnAB与△PnAC的面积比为2∶1，若PnA＋xn＋1·PnB＋(2xn＋1)PnC＝0，则x4的值为()A．15B．17C．29D．31答案A解析因为PnA＋xn＋1PnB＋(2xn＋1)PnC＝0，所以PnA＋(2xn＋1)PnC＝－xn＋1PnB，如图，设(2xn＋1)PnC＝PnD，以PnA和PnD为邻边作平行四边形PnDEA，所以PnA＋PnD＝PnE＝－xn＋1PnB，所以＝，所以＝，又＝＝，所以＝，所以＝＝，所以xn＋1＝2xn＋1，又x1＝1，所以x2＝3，x3＝7，x4＝15，故选A.思维升华向量与其他知识的结合，多体现向量的工具作用，利用向量共线或向量数量积的知识进行转化，“脱去”向量外衣，利用其他知识解决即可．跟踪训练1(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若OB＝a1OA＋a2018OC，且A，B，C三点共线(该直线不过点O)，则S2018等于()A．1009B．1008C．2017D．2018答案A解析因为OB＝a1OA＋a2018OC，且A，B，C三点共线，a1＋a2018＝1，又数列{an}是等差数列，S2018＝＝1009.(2)(2018·浙江新高考预测)角A，B，C为△ABC的三个内角，向量m满足|m|＝，且m＝，当角A最大时，动点P使得|PB|，|BC|，|PC|成等差数列，则的最大值是________．答案解析设BC＝2a，BC的中点为D.由题意得|m|2＝2＋2nnPEAPBASS△△nnnnPACPACPADPAESSSS△△△△nnPACPABSS△△＝1－cos(B＋C)＋[1＋cos(B－C)]＝－cosBcosC＋sinBsinC＝，则cosBcosC＝sinBsinC，化简得tanBtanC＝，则tanA＝－tan(B＋C)＝－＝－(tanB＋tanC)≤－×2＝－，当且仅当tanB＝tanC＝时，等号成立，所以当角A最大时，A＝，B＝C＝，则易得AD＝.因为|PB|，|BC|，|PC|成等差数列，所以2|BC|＝|PB|＋|PC|，则点P在以B，C为焦点，以2|BC|＝4a为长轴的椭圆上，由图(图略)易得当点P为椭圆的与点A在直线BC的异侧的顶点时，|PA|取得最大值，此时|PD|＝＝a，则|PA|＝|PD|＋|AD|＝，所以＝＝.题型二和向量有关的最值问题命题点1与平面向量基本定理有关的最值问题例2(1)(2018·浙江镇海中学测试)已知△ABC内接于圆O，且A＝60°，若AO＝xAB＋yAC(x，y∈R)，则x＋2y的最大值是()A.B．1C.D．2－答案D解析设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.由AO＝xAB＋yAC，得AO·AB＝xAB2＋yAC·AB，AC·AO＝xAC·AB＋yAC2，所以解得所以x＋2y＝2－≤2－×2＝2－(当且仅当b＝c时取等号)，故选D.(2)(2018·温州模拟)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，M，N分别为线段BC，CD上的点，且满足＋＝1，若AC＝xAM＋yAN，则x＋y的最小值为________．答案解析连接MN交AC于点G.由勾股定理，知MN2＝CM2＋CN2，所以1＝＋＝，即MN＝CM·CM，所以C到直线MN的距离为定值1，此时MN是以C为圆心，1为半径的圆的一条切线(如图所示)，AC＝xAM＋yAN＝(x＋y)·.由向量共线定理知，AC＝(x＋y)AG，所以x＋y＝＝，又因为|AG|max＝5－1＝4，所以x＋y的最小值为.命题点2与数量积有关的最值问题例3(1)(2017·浙江)如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O，记I1＝OA·OB，I2＝OB·OC，I3＝OC·OD，则()A．I1＜I2＜I3B．I1＜I3＜I2C．I3＜I1＜I2D．I2＜I1＜I3答案C解析 I1－I2＝OA·OB－OB·OC＝OB·(OA－OC)＝OB·CA，又OB与CA所成角为钝角，∴I1－I2＜0，即I1＜I2. I1－I3＝OA·OB－OC·OD＝|OA||OB|cos∠AOB－|OC||OD|cos∠COD＝cos∠AOB(|OA||OB|－|OC||OD|)，又∠AOB为钝角，OA＜OC，OB＜OD，∴I1－I3＞0，即I1＞I3.∴I3＜I1＜I2，故选C.(2)(2018·绍兴市柯桥区质检)已知向量a，b，c满足|b|＝|c|＝2|a|＝1，则(c－a)·(c－b)的最大值是________，最小值是________．答案3－解析由题意得|a|＝，|b|＝|c|＝1，则(c－a)·(c－b)＝|c|2－c·b－c·a＋a·b＝|c|2＋(－a－b＋c)2－(|a|2＋|b|2＋|c|2)＝－＋(－a－b＋c)2，则当向量－a，－b，c同向共线时，(c－a)·(c－b)取得最大值－＋2＝3，当－a－b＋c＝0时，(c－a)·(c－b)取得最小值－.命题点3与模有关的最值问题例4(1)(2018·浙江金华一中考试)已知OA，OB，OC是空间两两垂直的单位向量，OP＝xOA＋yOB＋zOC，且x＋2y＋4z＝1，则|OP－...
