第二节平面向量的基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.(2)向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)，|AB|＝.3．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.[小题体验]1．已知M(3，－2)，N(－5,2)，且MP＝MN，则点P的坐标为________．解析：设P(x，y)，则MP＝(x－3，y＋2)，又MN＝(－8,4)＝(－4,2)，∴解得故点P的坐标为(－1,0)．答案：(－1,0)2．已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝________.解析：因为a∥b，所以－2m－4×3＝0，解得m＝－6.答案：－63．在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若BC＝5e1，DC＝3e2，则OC＝________.(用e1，e2表示)解析：在矩形ABCD中，因为O是对角线的交点，所以OC＝AC＝(AB＋AD)＝(DC＋BC)＝(5e1＋3e2)＝e1＋e2.答案：e1＋e21．向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的．2．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1＝0.[小题纠偏]1．已知平行四边形ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为________．解析：设D(x，y)，则由AB＝DC，得(4,1)＝(5－x,6－y)，即解得故顶点D的坐标为(1,5)．答案：(1,5)2．已知向量m＝(λ－1,1)，n＝(λ－2,2)，若m∥n，则λ＝________，此时|n|＝________.解析：由m∥n可得2(λ－1)＝λ－2，解得λ＝0，此时|n|＝＝2.答案：02[题组练透]1．如图，向量e1，e2，a的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a可用基底e1，e2表示为________．解析：以e1的起点为坐标原点，e1所在直线为x轴建立平面直角坐标系．由题图可得e1＝(1,0)，e2＝(－1,1)，a＝(－3，1)，因为a＝xe1＋ye2＝x(1,0)＋y(－1,1)＝(x－y，y)，则解得故a＝－2e1＋e2.答案：a＝－2e1＋e22．如图，在△ABC中，AN＝NC，P是BN上的一点，若AP＝mAB＋AC，则实数m的值为________．解析：设BP＝kBN，k∈R.因为AP＝AB＋BP＝AB＋kBN＝AB＋k(AN－AB)＝AB＋k＝(1－k)AB＋AC，又AP＝mAB＋AC，所以解得k＝，m＝.答案：3．(易错题)如图，以向量OA＝a，OB＝b为邻边作▱OADB，BM＝BC，CN＝CD，用a，b表示OM，ON，MN.解：因为BA＝OA－OB＝a－b，BM＝BA＝a－b，所以OM＝OB＋BM＝a＋b.因为OD＝a＋b，所以ON＝OC＋CD＝OD＋OD＝OD＝a＋b，所以MN＝ON－OM＝a＋b－a－b＝a－b.综上，OM＝a＋b，ON＝a＋b，MN＝a－b.[谨记通法]用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．[题组练透]1．已知向量a，b满足a＋b＝(－1,5)，a－b＝(5，－3)，则b＝________.解析：由a＋b＝(－1,5)，a－b＝(5，－3)，得2b＝(－1,5)－(5，－3)＝(－6,8)，所以b＝(－6,8)＝(－3,4)．答案：(－3,4)2．已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若MN＝－3a，则点N的坐标为________．解析：MN＝－3a＝－3(1，－2)＝(－3,6)，设N(x，y)，则MN＝(x－5，y＋6)＝(－3,6)，所以即故N(2,0)．答案：(2,0)3．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB＝a，BC＝b，CA＝c，且CM＝3c，CN＝－2b，(1)求3a＋b－3c；(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(3)求M，N的坐标及向量MN的坐标．解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)因为mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，所以解...
