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高考数学 第二节 等差数列教材VIP免费

高考数学 第二节 等差数列教材_第1页
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第二节等差数列考点串串讲1.等差数列的定义以及判定方法(1)等差数列的定义如果数列{an}满足:从第二项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数(用d表示),就称这个数列为等差数列.常数d叫做这个等差数列的公差,即an+1-an=d.对于等差数列定义需注意:①在等差数列的定义中,要强调“从第二项起”,因为第一项没有前一项;②要强调“同一个常数”,这五个字体现了等差数列的基本特征.如果某几项破坏了这一规律,尽管其他项都满足,那么这个数列也不是等差数列.③要强调公差d=an+1-an(n∈N+),防止把被减数与减数弄颠倒.④由定义可知有了某一项和公差,则这个等差数列就被完全确定.(2)等差数列的判定方法①定义法:an+1-an=d(常数)⇔{an}是等差数列.②中项公式法:2an+1=an+an+2(n∈N*)⇔{an}是等差数列.③通项公式法:an=pn+q(p,q为常数)⇔{an}是等差数列.④前n项和公式法:Sn=An2+Bn(A,B为常数)⇔{an}是等差数列.2.等差数列的通项公式已知等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则等差数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d(n∈N+).①若已知等差数列{an}的第m项为am,公差为d,则等差数列{an}的通项公式为an=am+(n-m)d(n,m∈N+).②3.等差数列的前n项和公式已知等差数列{an}的首项为a1,第n项为an.则前n项和Sn=a1+a2+…+an=.①若已知首项a1和公差d,则Sn=na1+n(n-1)d.②若已知末项an和公差d,则Sn=nan-n(n-1)d.③说明①等差数列的求和公式是通过倒序相加法求得的.②在等差数列的五个量:a1,an,n,d,Sn中,只要已知其中的三个量就可求出其余的两个量.4.用函数的观点审视等差数列(1)等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d可以化为an=dn+a1-d,进一步可表示为an=dn+b(这里b=a1-d,a1是首项,d为公差).①若d=0,则an=a1.等差数列{an}为常数列,图象为平行于x轴的直线y=a1上的横坐标为正整数的一些孤立点,如图所示.②若d≠0,则等差数列{an}的图象为直线y=dx+b上的横坐标为正整数的一些孤立点.用心爱心专心1特别地,由通项公式得d==.这就是解析几何中的斜率公式,因此公差d是直线y=dx+b的斜率.由斜率的意义可知:当d>0时,{an}为递增的等差数列;如图1所示,当d<0时,等差数列{an}单调递减.如图2所示.(2)由Sn=na1+n(n-1)d得Sn=n2-(d-2a1)n.∴当d≠0时,等差数列的前n项和Sn是n的二次函数.其图象是抛物线y=x2-(d-2a1)x上横坐标为正整数的一些孤立点.特别地当d>0时,这些点都分布在开口向上、对称轴为x=的抛物线上,如图3所示.当d<0时,这些点都分布在开口向下,对称轴为x=的抛物线上,如图4所示.由此可知,当d>0时Sn存在最小值,当d<0时,Sn存在最大值.5.等差中项的定义和性质(1)定义:三个数a、b、c成等差数列,则b为a和c的等差中项.(2)性质:a、b、c成等差数列的充要条件是b=.说明:这一性质不仅描述了成等差数列的三个数之间的一种数量关系,而且指明了等差中项就是另外两个数的算术平均数.根据这一性质还可以作出以下两个推论.推论1:在等差数列{an}中,有an-1+an+1=2an(n≥2).推论2:在等差数列{an}中,若m,n,p成等差数列,则am+ap=2an.说明:推论1指的是等差数列中的连续三项an-1,an,an+1,根据性质显然an是an-1与an+1的等差中项.在推论2中,m,n,p成等差数列.根据等差数列的等距性,am,an,ap也成等差数列.所以由性质可知am+ap=2an.用心爱心专心2(3)三个数成等差数列一般设为:a-d,a,a+d;四个数成等比数列一般设为a-3d,a-d,a+d,a+3d.6.等差数列的性质(1)若公差d>0,则此数列为递增数列;若d<0,则此数列为递减数列;若d=0,则此数列为常数列.(2)有穷等差数列中,与首末两项距离相等的两项和相等.并且等于首末两项之和;特别地,若项数为奇数,还等于中间项的2倍,即a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=2a中.(3)若m,n,p,k∈N*,且m+n=p+k,则am+an=ap+ak,其中am,an,ap,ak是数列中的项.特别地,当m+n=2p时,有am+an=2ap.这条性质,还可以推广到有三项、四项……的情形.使用该性质时,一要注意等式两边下标和...

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