高考数学 第二节 等差数列教材VIP免费

第二节等差数列考点串串讲1．等差数列的定义以及判定方法(1)等差数列的定义如果数列{an}满足：从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数(用d表示)，就称这个数列为等差数列．常数d叫做这个等差数列的公差，即an＋1－an＝d.对于等差数列定义需注意：①在等差数列的定义中，要强调“从第二项起”，因为第一项没有前一项；②要强调“同一个常数”，这五个字体现了等差数列的基本特征．如果某几项破坏了这一规律，尽管其他项都满足，那么这个数列也不是等差数列．③要强调公差d＝an＋1－an(n∈N＋)，防止把被减数与减数弄颠倒．④由定义可知有了某一项和公差，则这个等差数列就被完全确定．(2)等差数列的判定方法①定义法：an＋1－an＝d(常数)⇔{an}是等差数列．②中项公式法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列．③通项公式法：an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列．④前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{an}是等差数列．2．等差数列的通项公式已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d(n∈N＋)．①若已知等差数列{an}的第m项为am，公差为d，则等差数列{an}的通项公式为an＝am＋(n－m)d(n，m∈N＋)．②3．等差数列的前n项和公式已知等差数列{an}的首项为a1，第n项为an.则前n项和Sn＝a1＋a2＋…＋an＝.①若已知首项a1和公差d，则Sn＝na1＋n(n－1)d.②若已知末项an和公差d，则Sn＝nan－n(n－1)d.③说明①等差数列的求和公式是通过倒序相加法求得的．②在等差数列的五个量：a1，an，n，d，Sn中，只要已知其中的三个量就可求出其余的两个量．4．用函数的观点审视等差数列(1)等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以化为an＝dn＋a1－d，进一步可表示为an＝dn＋b(这里b＝a1－d，a1是首项，d为公差)．①若d＝0，则an＝a1.等差数列{an}为常数列，图象为平行于x轴的直线y＝a1上的横坐标为正整数的一些孤立点，如图所示．②若d≠0，则等差数列{an}的图象为直线y＝dx＋b上的横坐标为正整数的一些孤立点．用心爱心专心1特别地，由通项公式得d＝＝.这就是解析几何中的斜率公式，因此公差d是直线y＝dx＋b的斜率．由斜率的意义可知：当d＞0时，{an}为递增的等差数列；如图1所示，当d＜0时，等差数列{an}单调递减．如图2所示．(2)由Sn＝na1＋n(n－1)d得Sn＝n2－(d－2a1)n.∴当d≠0时，等差数列的前n项和Sn是n的二次函数．其图象是抛物线y＝x2－(d－2a1)x上横坐标为正整数的一些孤立点．特别地当d＞0时，这些点都分布在开口向上、对称轴为x＝的抛物线上，如图3所示．当d＜0时，这些点都分布在开口向下，对称轴为x＝的抛物线上，如图4所示．由此可知，当d＞0时Sn存在最小值，当d＜0时，Sn存在最大值．5．等差中项的定义和性质(1)定义：三个数a、b、c成等差数列，则b为a和c的等差中项．(2)性质：a、b、c成等差数列的充要条件是b＝.说明：这一性质不仅描述了成等差数列的三个数之间的一种数量关系，而且指明了等差中项就是另外两个数的算术平均数．根据这一性质还可以作出以下两个推论．推论1：在等差数列{an}中，有an－1＋an＋1＝2an(n≥2)．推论2：在等差数列{an}中，若m，n，p成等差数列，则am＋ap＝2an.说明：推论1指的是等差数列中的连续三项an－1，an，an＋1，根据性质显然an是an－1与an＋1的等差中项．在推论2中，m，n，p成等差数列．根据等差数列的等距性，am，an，ap也成等差数列．所以由性质可知am＋ap＝2an.用心爱心专心2(3)三个数成等差数列一般设为：a－d，a，a＋d；四个数成等比数列一般设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.6．等差数列的性质(1)若公差d＞0，则此数列为递增数列；若d＜0，则此数列为递减数列；若d＝0，则此数列为常数列．(2)有穷等差数列中，与首末两项距离相等的两项和相等．并且等于首末两项之和；特别地，若项数为奇数，还等于中间项的2倍，即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…＝2a中．(3)若m，n，p，k∈N*，且m＋n＝p＋k，则am＋an＝ap＋ak，其中am，an，ap，ak是数列中的项．特别地，当m＋n＝2p时，有am＋an＝2ap.这条性质，还可以推广到有三项、四项……的情形．使用该性质时，一要注意等式两边下标和...