北京第十八中学高三数学第一轮复习 66 数学归纳法教学案（教师版）VIP免费

教案66数学归纳法一、课前检测1．在数列{}中，=1，(),求。解：n=1时,=1以上n-1个等式累加得==，故且也满足该式∴()。2．在数列{}中，=1，，求。解：由已知得，分别取n=1、2、3……(n-1),代入该式得n-1个等式累乘，即=1×2×3×…×(n-1)=(n-1)!所以时，故且=1也适用该式∴().二、知识梳理（一）基本知识1.归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法.特点：特殊→一般奎屯王新敞新疆2.不完全归纳法:根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫做不完全归纳法.3.完全归纳法:把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法.完全归纳法是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法.与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的.通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法.4.数学归纳法:对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(kN*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立奎屯王新敞新疆这种证明方法就叫做数学归纳法奎屯王新敞新疆5.数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数n0，如果当n=n0时，命题用心爱心专心1成立，再假设当n=k(k≥n0，k∈N*)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1，n0+2，…，命题都成立.6.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：(1)证明：当n取第一个值n0结论正确；(2)假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确.由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确奎屯王新敞新疆递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉奎屯王新敞新疆.（二）解读(1）用数学归纳法证明一个命题必须分为两个步骤：第一步验证n取第一个允许值n0时命题成立；第二步从n=k(k≥n0)时命题成立的假设出发，推证n=k+1时命题也成立。其中第一步是验证命题的起始正确性，是归纳的基础；第二步则是推证命题正确性的可传递性，是递推的依据。两个步骤各司其职，缺一不可。证明步骤与格式的完整与规范是数学归纳法的一个鲜明特征。(2）在第二步证明“当n=k+1时命题成立”的过程中，必须利用“归纳假设”，即必须用上“当n=k时命题成立”这一条件。因为“当n=k时命题成立”实为一个已知条件，而“当n=k+1时命题成立”只是一个待证目标。(3)“观察→归纳→猜想→证明”是一种十分重要的思维方法，运用这种思维方法既能发现结论，又能证明结论的正确性。这是分析问题和解决问题能力的一个重要内容，也是近几年高考的一个考查重点。(4)用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学命题，其中包括恒等式、不等式、数列通项公式、整除性问题、几何问题等.(5)没有运用归纳假设的证明不是数学归纳法问题1用数学归纳法证明：2243131414141n错证：（1）当n=1时，左=右=411，等式成立（2）假设当n=k时等式成立，那么当n=k+1时，211243131411])41(1[41414141kk综合（1）（2），等式对所有正整数都成立点拨：错误原因在于只有数学归纳法的形式，没有数学归纳法的“实质”即在归纳递推中，没有运用归纳假设(6)归纳起点0n未必是1。问题2：用数学归纳法证明：凸n边形的对角线条数为232nn点拔：本题的归纳起点30n三、典型例题分析用心爱心专心2题型1证明等式问题例1用数学归纳法证明证明：（1）当n=1时，左边=1-=，右边==，所以等式成立。（2）假设当n=k时，等式成立，即。那么，当n=k+1时，即是说，当n=k+1时等式也成立。综上所述，等式对任何自然数n都成立。变式训练1在数列}{na中，33,2111nnnaaaa，求数列}{na的通项公式。解：,73,632121aa,93,8323aa猜想53nan下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，215131a，猜想成立（2）假设当n=k时猜想成立，则5)1(3353533331kkkaaakkk当n=k+1时猜想也成立综合（1）（2），对Nn猜想都成立小结与拓展：（1）数学归纳法证明命题，格式严...