（江苏专用）高考数学大一轮复习 第十一章 计数原理、随机变量及其概率分布 11.6 离散型随机变量的均值与方差教案（含解析）-人教版高三全册数学教案VIP免费

§11.6离散型随机变量的均值与方差考情考向分析以理解均值与方差的概念为主，考查二项分布的均值与方差．掌握均值与方差的求法是解题关键．高考中常以解答题的形式考查，难度为中档．1．均值(1)若离散型随机变量X的概率分布为Xx1x2…xnPp1p2…pn则称E(X)＝μ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn为X的均值或数学期望．(2)离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平．(3)均值的性质E(c)＝c，E(aX＋b)＝aE(X)＋b(a，b，c为常数)．2．方差(1)若离散型随机变量X所有可能的取值是x1，x2，…，xn，且这些值的概率分别是p1，p2，…，pn，则称：V(X)＝(x1－μ)2p1＋(x2－μ)2p2＋…＋(xn－μ)2pn为X的方差．(2)σ＝，叫标准差．(3)方差的性质a，b为常数，则V(aX＋b)＝a2V(X)．若X～B(n，p)，则E(X)＝np，V(X)＝np(1－p)．概念方法微思考随机变量的均值和方差有什么关系？提示均值(数学期望)反映了随机变量取值的平均水平，而方差则表现了随机变量所取的值对于它的均值(数学期望)的集中与离散的程度，因此二者的关系是十分密切的．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定．(√)(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小．(√)(3)若随机变量X的取值中的某个值对应的概率增大时，均值也增大．(×)(4)均值是算术平均数概念的推广，和概率无关．(×)题组二教材改编2．[P74习题T6]在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X的均值是________．答案0.7解析E(X)＝1×0.7＋0×0.3＝0.7.3．[P69例2]有10件产品，其中3件是次品，从这10件产品中任取2件，用X表示取到次品的件数，则E(X)＝________.答案解析X服从超几何分布，P(X＝x)＝(x＝0,1,2)，∴P(X＝0)＝＝＝，P(X＝1)＝＝＝，P(X＝2)＝＝＝.∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝＝.4．[P74习题T1]随机变量X的概率分布为X－101Pabc其中a，b，c成等差数列．若E(X)＝，则方差V(X)的值是________．答案解析 a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.又a＋b＋c＝1，E(X)＝－1×a＋1×c＝c－a＝，得a＝，b＝，c＝，∴V(X)＝2×＋2×＋2×＝.题组三易错自纠5．下列说法中正确的是________．(填序号)①离散型随机变量X的均值E(X)反映了X取值的概率的平均值；②离散型随机变量X的方差V(X)反映了X取值相对于均值的离散程度；③离散型随机变量X的均值E(X)反映了X取值的大小规律；④离散型随机变量X的方差V(X)反映了X取值的概率的平均值．答案②解析根据均值与方差的概念知②正确．6．设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4.若yi＝xi＋a(a为非零常数，i＝1,2，…，10)，则y1，y2，…，y10的均值和标准差分别为________，________.答案1＋a2解析将每个数据都加上a后均值也增加a，方差与标准差都不变．7．一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则V(X)＝________.答案1.96解析由题意得X～B(100,0.02)，∴V(X)＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96.题型一离散型随机变量的均值、方差命题点1求离散型随机变量的均值、方差例1(2018·无锡模拟)某小区停车场的收费标准为：每车每次停车的时间不超过2小时免费，超过2小时的部分每小时收费1元(不足1小时的部分按1小时计算)．现有甲、乙两人独立来该停车场停车(各停车一次)，且两人停车时间均不超过5小时．设甲、乙两人停车时间(小时)与取车概率如下表所示.停车时间取车概率停车人员(0,2](2,3](3,4](4,5]甲xxx乙y0(1)求甲、乙两人所付停车费相同的概率；(2)设甲、乙两人所付停车费之和为随机变量ξ，求ξ的概率分布与均值E(ξ)．解(1)由题意，得＋3x＝1，所以x＝.＋＋y＝1，所以y＝.记甲、乙两人所付停车费相同为事件A，则P(A)＝×＋×＋×＝.所以甲、乙两人所付停车费相同的概率为.(2)ξ可能取的值为0,1,2,3,4,5，P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝×＋×＝，P(ξ＝2)＝×＋×＋×＝，P(ξ＝3)＝×＋×＋×＝，P(ξ＝4)＝×＋×＝，P(ξ＝5)＝×＝.所以ξ的...