第1课时一元二次不等式的解法课标解读课标要求核心素养1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程,了解一元二次不等式的现实意义.(重点)2.能借助一元二次函数求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集.(重点、难点)1.从函数观点认识不等式,感悟数学知识之间的关联,培养学生的数学抽象素养.2.在学习一元二次不等式的解法的过程中,提升学生的数学运算素养.已知一元二次函数y=x2-2x,一元二次方程x2-2x=0,一元二次不等式x2-2x>0.问题1:试写出一元二次函数的图象与x轴的交点坐标.答案(0,0),(2,0).问题2:一元二次方程的根是什么?答案x1=0,x2=2.问题3:问题1中的交点坐标与问题2中的根有何内在联系?答案交点的横坐标为方程的根.问题4:观察二次函数图象,当x满足什么条件时,图象在x轴的上方?答案x>2或x<0.问题5:能否利用问题4得出不等式x2-2x>0,x2-2x<0的解集?答案能,两个不等式的解集分别为{x|x>2或x<0},{x|0
0或ax2+bx+c<0,其中a,b,c均为常数,a≠0.思考1:不等式x2-y2>0是一元二次不等式吗?提示此不等式中含有两个变量,根据一元二次不等式的定义,可知不是一元二次不等式.3.一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的未知数的值,叫做这个一元二次不等式的解,其解的集合,称为这个一元二次不等式的③解集.4.三个“二次”的关系设y=ax2+bx+c(a>0),方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac判别式Δ>0Δ=0Δ<0解不等式y>0或y<0的步骤求方程y=0的解有两个不相等的实数根x1,x2(x10)的图象得不等式的解集y>0④{x|xx2}⑤xx≠-b2a⑥Ry<0⑦{x|x10的解集为R,则实数a应满足什么条件?提示结合二次函数的图象可知,若一元二次不等式ax2+x-1>0的解集为R,则{a>0,1+4a<0,此不等式组无解,所以不存在a使不等式ax2+x-1>0的解集为R.特别提醒一般地,对于二次函数y=ax2+bx+c,我们把使ax2+bx+c=0的实数x叫做二次函数y=ax2+bx+c的零点.探究一一元二次不等式的解法例1解下列不等式:(1)2x2+5x-3<0;(2)4x2-4x+1>0;(3)-x2+6x-10>0.解析(1)易知方程2x2+5x-3=0的两个实根分别为x1=-3,x2=12,作出函数y=2x2+5x-3的图象,如图①.由图可得原不等式的解集为{x|-30;(2)-4x2+18x-814≥0;(3)-2x2+3x-2<0.解析(1)因为Δ=72-4×2×3=25>0,所以方程2x2+7x+3=0有两个不等实根x1=-3,x2=-12.又二次函数y=2x2+7x+3的图象开口向上,所以原不等式的解集为{x|x>-12或x<-3}.(2)原不等式可化为(2x-92)2≤0,所以原不等式的解集为{x|x=94}.(3)原不等式可化为2x2-3x+2>0,因为Δ=9-4×2×2=-7<0,所以方程2x2-3x+2=0无实根,又二次函数y=2x2-3x+2的图象开口向上,所以原不等式的解集为R.探究二含参数的一元二次不等式的解法例2(1)设a∈R,解关于x的不等式2x2+ax+2>0;(2)设m∈R,解关于x的不等式m2x2+2mx-3<0.解析(1)由题意得,Δ=a2-16,下面分情况讨论:①当Δ<0,即-44或a<-4时,原不等式的解集为{x|x<14(-a-❑√a2-16)或x>14(-a+❑√a2-16)};当a=4时,原...
