第四节函数的单调性教材面面观1．增函数定义、减函数定义一般地，对于给定区间上的函数f(x)：如果对于______________________________两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有________，那么就说f(x)在________是增函数．如果对于______________________________两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有________，那么就说f(x)在________是减函数．答案属于这个区间的任意f(x1)＜f(x2)这个区间上属于这个区间的任意f(x1)＞f(x2)这个区间上2．单调性、单调区间如果函数y＝f(x)在某个区间上____________，那么说函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，________叫做函数y＝f(x)的单调区间．答案是增函数或是减函数这一区间3．图象特征在单调区间上增函数的图象从左向右是________的，减函数的图象从左到右是________的(如图所示)．答案上升下降4．若函数f(x)在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)的最大值为________，最小值为________，值域为________．答案f(a)f(b)[f(b)，f(a)]5．函数单调性的判定方法(1)定义法：利用定义(2)图象法：作出函数图象(3)复合法：对于复合函数y＝f[g(x)]，如果内、外层函数单调性相同，那么y＝f[g(x)]为________，如果内、外层函数单调性相反，那么y＝f[g(x)]为__________．(4)导数法：设y＝f(x)在定义域的给定区间上可导，如果________，那么f(x)为增函数；如果________，那么f(x)为减函数．(5)性质法：①若f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)为________函数；若f(x)为增函数，g(x)为减函数，则f(x)－g(x)为________；若f(x)为减函数，g(x)为增函数，则f(x)－g(x)为________函数．②奇函数在两个对称的区间上具有________的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有________的单调性．③互为反函数的两个函数具有________的单调性．答案增函数减函数f′(x)＞0f′(x)＜0增(减)增函数减相同相反相同6．证明函数单调性的方法(1)________；(2)________．答案定义法导数法1考点串串讲1．函数单调性的定义与单调区间(1)定义一般地，设函数f(x)的定义域为I.如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．如果函数y＝f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，这一区间叫做y＝f(x)的单调区间，若是增函数，则该区间为增区间，若是减函数，则该区间为减区间．(2)对单调性的理解需注意：①函数的单调性只能在函数的定义域内讨论，单调区间是定义域的子区间或定义域本身，离开了定义域这个大前提就会导致错误．如函数y＝lg(3＋2x－x2)的单调递增区间为(－1,1]，而不能认为是(－∞，1]，因为定义域为(－1,3)．②函数f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在局部区间上函数值的变化趋势．因此若要判定或证明函数在该区间上的单调性，就必须严格地按照定义在该区间上任取两点x1，x2，且x1＜x2，然后再比较它们对应的函数值f(x1)与f(x2)的大小关系，若f(x1)＜f(x2)，则f(x)在这个区间上为增函数，若f(x1)＞f(x2)，则f(x)在这个区间上为减函数．若要证明f(x)在某区间上不具有单调递增的性质，则只要举出反例就可以了．③函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．如：函数y＝分别在(－∞，0)，(0，＋∞)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即(－∞，0)∪(0，＋∞)内单调递减．④单调性是函数的一个局部性质，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性．例如：y＝sinx在[0，]上单调递增，在[，π]上单调递减．⑤函数的单调区间是定义域的子集，定义域中的x1、x2相对于单调区间具有任意性，不能用特殊值替代，例如：正弦函数y＝sinx，当x1＝，x2＝π时，因sinπ＞sin，但不能说y＝sinx在[，]上为增函数．⑥函数的单调性使得自变量的不等关系和函数值之间的不等关系可以“正逆互推”．2．判断或证明函数单调性的方法(1)根据图象判断函数的单调性在几何上表现为在某区间上函数图象从左...
