第四讲垂直转化术（垂直4-5-2）一、考情分析立体几何中的垂直关系的证明及应用是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样．本节主要帮助考生深刻理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化术，并能利用它们解决一些问题．二、知识归纳（一）转化框图线面平行平行公理线线平行面面平行三垂线定理线线垂直线面垂直面面垂直三垂线逆定理（二）线线垂直的判定方法（1）定义法：如果两条直线所成的角为，则这条直线和这个平面垂直；推理模式：．（2）三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直；推理模式：．（3）三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直；推理模式：．注意：三垂线指都垂直内的直线．要考虑的位置，并注意两定理交替使用．（4）直线与平面垂直的性质：如果一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线；推理模式：．（三）线面垂直的判定方法（1）定义法：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线和这个平面互相垂直；推理模式：．（2）直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直1线垂直于这个平面；推理模式：．（3）平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面相互垂直，那么，其中一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面；推理模式：．（4）直线与平面垂直的性质：两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面；推理模式：．（5）平面与平面平行的性质：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面；推理模式：．（四）面面垂直的判定方法（1）定义法：如果两个平面的二面角的平面角为，则称这两个平面相互垂直；推理模式：．（2）平面与平面垂直的判定定理：如果一条直线垂直于一个平面，那么经过这条直线的平面必垂直于已知平面；推理模式：．三、精典例析例1：（1)（05年天津卷）设为平面，为直线，则的一个充分条件是（D）(A)(B)(C)(D)（2）（05年北京卷）在正四面体中，分别是的中点，下面四个结论中不成立的是（C）（A）（B）2（C）（D）例2：平面，证明：．解析：．注：垂直关系的证明过程中，进入新的一轮线面垂直关系的转化时，应注意“换位转化”．例3：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上．解析：文字语言叙述题的证明，必须注意向符号语言、图形语言的“翻译”，即写出已知、求证．已知：在内，于，于且，求证：在的平分线上（即）．分析：∵，∴（三垂线定理逆定理）；∵，∴，∴，又∵，∴，∴．推广：经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线的这个角两边夹角相等，那麽斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在直线奎屯王新敞新疆应用：三棱锥的每一个面都是直角三角形，称之为特征三棱锥，蕴涵着锥体的所有要素，是研究锥体的特征几何体．例4：点为所在平面外的一点，点为点在平面内的射影，若，求证：．解析：连结，∵，且，∴（三垂线定理逆定理）；同理，∴为的垂心，∴，又∵，∴（三垂线定理）．拓展：四面体中，（1）若各组对棱都相互垂直，则点在平面内的射影是底面三角形的垂心；3（2）若三条侧棱两两垂直，则点在平面内的射影是底面三角形的垂心；（3）若三条侧棱都相等，则点在平面内的射影是底面三角形的外心；（4）若三条侧棱与底面的成角都相等，则点在平面内的射影是底面三角形的外心；（5）若三个侧面的斜高都相等，则点在平面内的射影是底面三角形的内心；（6）若三个侧面与底面的成角都相等，则点在平面内的射影是底面三角形的内心．例5：如图，斜边为的中，于，于．（1）证明：；（2）证明：；（3）证明：；（4）若，求截面的面积的最大值．解析：（1）法1：．法2：．（2）．（3）．（4）；又∵，∴，∴，4（当且仅当时，取得等号）故当时，截面的面积的最大值为2．注：本题图形中，；．四、课后反思．5
