第74讲数学归纳法及应用湖南江华一中何楠【知识回顾】1、数学归纳法（1）数学归纳证明的步骤是：①验证当n取第一个适合命题的自然数n0时结论成立；②假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论成立.推导当n=k+1时结论也成立.（2）使用数学归纳法应注意的问题：①两个步骤缺一不可，第一步验证P(n0)成立是推理的基础，第二步由P(k)P(k+1)成立是推理的依据（由n0成立，推出n0+1成立；由n0+1成立，又可推出n0+2成立，…，如此递推，可知命题对一切自然数n(n≥n0)均成立）.②n0是命题成立的起始值，不一定是非零自然数的起始值1.③由“n=kn=k+1”的过程中必须使用归纳假设，否则不是数学归纳法.2、归纳、猜想与证明从观察一些特殊的简单的问题入手，根据它们所体现的共同性质，运用不完全归纳法作出一般命题的猜想，然后从理论上证明（或否定）这种猜想，这个过程叫做“归纳——猜想——证明”.它是一个完整的思维过程，是人们从事科学研究认识发现规律的有效途径，也是用来培养创新思维能力的有效办法.【课内训练】例1对任意正偶数n，求证：=2.用心爱心专心例2设n∈N*，且n＞1.求证：.例3设数列{an}满足an+1=，n=1，2，3，…，（1）当a1=2时，则a2，a3，a4，并由此猜想出an的一个通项公式；（2）当a1≥3时，证明对所有的n≥1，有①an≥n+2；②≤.例4已知函数f(x)=ax–x2的最大值不大于，又当x∈[,]时，f(x)≥,（1）求a的值；（2）设0＜a1＜，an+1=f(an)，n∈N*，证明：an＜.【课后作业】《全品》课时作业(七十四).用心爱心专心用心爱心专心
