§8.6空间向量及其运算最新考纲考情考向分析1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线和垂直.本节是空间向量的基础内容，涉及空间直角坐标系、空间向量的有关概念、定理、公式及四种运算等内容.一般不单独命题，常以简单几何体为载体；以解答题的形式出现，考查平行、垂直关系的判断和证明及空间角的计算，解题要求有较强的运算能力.1.空间向量的有关概念及定理语言描述共线向量(平行向量)如果空间一些向量的基线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量共线向量定理两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在唯一的实数x，使a＝xb共面向量定理如果两个向量a、b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是，存在唯一的一对实数x，y，使c＝xa＋yb空间向量分解定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc2.两向量的夹角已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则角∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，通常规定0≤〈a，b〉≤π.3.两条异面直线所成的角把异面直线平移到一个平面内，这时两条直线的夹角(锐角或直角)叫做两条异面直线所成的角.4.数量积及坐标运算1(1)两个向量的数量积：①a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；②a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)；③|a|2＝a·a，|a|＝.(2)向量的坐标运算：a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)向量和a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)向量差a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)数量积a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3数乘向量λa＝(λa1，λa2，λa3)共线a∥b(b≠0)⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3a∥b⇔＝＝(b与三个坐标平面都不平行)垂直a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0夹角公式cos〈a，b〉＝概念方法微思考1.共线向量与共面向量相同吗？提示不相同.平行于同一平面的向量就为共面向量.2.零向量能作为基向量吗？提示不能.由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故零向量不能作为基向量.3.空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取有关吗？提示无关.这是因为一个确定的几何体，其“线线”夹角、“点点”距离都是固定的，坐标系的位置不同，只会影响其计算的繁简，不会影响结果.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)空间中任意两个非零向量a，b共面.(√)(2)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·(b·c).(×)(3)对于非零向量b，由a·b＝b·c，则a＝c.(×)(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同.(×)(5)若A，B，C，D是空间任意四点，则有AB＋BC＋CD＋DA＝0.(√)(6)若a·b<0，则〈a，b〉是钝角.(×)题组二教材改编2.如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点.若AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则下列向量中与BM相等的向量是()2A.－a＋b＋cB.a＋b＋cC.－a－b＋cD.a－b＋c答案A解析BM＝BB1＋B1M＝AA1＋(AD－AB)＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c.3.正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为________.答案解析|EF|2＝EF2＝(EC＋CD＋DF)2＝EC2＋CD2＋DF2＋2(EC·CD＋EC·DF＋CD·DF)＝12＋22＋12＋2(1×2×cos120°＋0＋2×1×cos120°)＝2，∴|EF|＝，∴EF的长为.题组三易错自纠4.在空间直角坐标系中，已知A(1,2,3)，B(－2，－1,6)，C(3，2,1)，D(4,3,0)，则直线AB与CD的位置关系是()A.垂直B.平行C.异面D.相交但不垂直答案B解析由题意得，AB＝(－3，－3,3)，CD＝(1,1，－1)，∴AB＝－3CD，∴AB与CD共线，又AB与CD没有公共点，∴AB∥CD.5.已知a＝(2,3,1)，b＝(－4,2，x)，且a⊥b，则|b|＝________.答案2解析 a⊥b，∴a·b＝2×(－4)＋3×2＋1·x＝0，∴x＝2，∴|b|＝＝2.6.O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且OP＝OA＋OB＋tOC，若P，A，B，C四点共面，则实数t＝______.答案解析 P，A，B，C四点共面，∴＋＋t＝1，∴t＝.3题型一空间向量的线性运算例1如图所示，在空间几何体ABCD－A1B1C1D1中，各面为平行四边形，设AA1＝...
