第2课时系统题型——平面向量的数量积及应用平面向量数量积及其性质的应用1．(2019·宝鸡金台区质检)在直角三角形ABC中，角C为直角，且AC＝BC＝1，点P是斜边上的一个三等分点，则CP·CB＋CP·CA＝()A．0B.1C.D．－解析：选B以点C为坐标原点，分别以CA，CB的方向为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则C(0,0)，A(1,0)，B(0,1)，不妨设P，所以CP·CB＋CP·CA＝＋＝1.故选B.2．已知向量a，b均为单位向量，若它们的夹角为60°，则|a＋3b|等于()A.B.C.D．4解析：选C依题意得a·b＝，|a＋3b|＝＝，故选C.3．(2019·江西三校联考)若|a|＝2，|b|＝4，且(a＋b)⊥a，则a与b的夹角为()A.B.C.D．－解析：选A (a＋b)⊥a，∴(a＋b)·a＝a2＋a·b＝0，∴a·b＝－4，cosa，b＝＝＝－，∴a，b＝，故选A.4．(2019·深圳高级中学期中)已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝()A．－4B.－3C．－2D．－1解析：选B (m＋n)⊥(m－n)，∴(m＋n)·(m－n)＝m2－n2＝(λ＋1)2＋1－(λ＋2)2－4＝0，解得λ＝－3.故选B.1．平面向量数量积的2种运算方法方法运用提示适用题型定义法当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b＝|a|·|b|cosθ适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题坐标法当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2适用于已知相应向量的坐标求解数量积的有关计算问题2.利用数量积求解长度问题的处理方法(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝.(2)|a±b|＝＝.(3)若a＝(x，y)，则|a|＝.3．向量夹角问题的2个注意点(1)切记向量夹角的范围是[0，π]．(2)a与b夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线，a与b夹角为钝角⇔a·b<0且a，b不共线．4．两向量垂直的应用两非零向量垂直的充要条件是a⊥ba⇔·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.平面向量数量积的应用问题1平面向量数量积的应用中，常考查向量的模或数量积的最值或范围问题，能力要求较高，综合性强．考法一平面向量模的最值或范围问题[例1](1)(2019·衡水中学调研)已知向量a，b，c满足|a|＝|b|＝a·b＝2，(a－c)·(b－2c)＝0，则|b－c|的最小值为()A.B.C.D．(2)(2019·长春模拟)已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是()A．1B.2C.D．[解析](1)由|a|＝|b|＝a·b＝2，知a，b的夹角为，可设a＝(2,0)，b＝(1，)，c＝(x，y)， (a－c)·(b－2c)＝0，∴(2－x，－y)·(1－2x，－2y)＝0，即2x2＋2y2－5x－y＋2＝0.方程2x2＋2y2－5x－y＋2＝0表示圆心为，半径为的圆，|b－c|＝表示圆2x2＋2y2－5x－y＋2＝0上的点到点(1，)的距离，所以|b－c|的最小值为－＝.(2)因为|a|＝|b|＝1，a·b＝0，(a－c)·(b－c)＝－c·(a＋b)＋|c|2＝－|c||a＋b|·cosθ＋|c|2＝0，其中θ为c与a＋b的夹角，所以|c|＝|a＋b|cosθ＝cosθ≤，所以|c|的最大值是.[答案](1)A(2)C[方法技巧]求向量模的最值(范围)的2种方法代数法把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解几何法弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解考法二数量积的最值或范围问题[例2](1)(2019·南昌调研)如图，在直角梯形ABCD中，DA＝AB＝1，BC＝2，点P在阴影区域(含边界)中运动，则PA·BD的取值范围是()A.B.C．[－1,1]D．[－1,0](2)(2019·宝鸡模拟)在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，M，N(不与A，C重合)为AC边上的两个动点，且满足|MN|＝，则BM·BN的取值范围为()A.B.C.D．[解析](1) 在直角梯形ABCD中，DA＝AB＝1，BC＝2，∴BD＝.如图所示，过点A作AO⊥BD，垂足为O，则PA＝PO＋OA，OA·BD＝0，∴PA·BD＝(PO＋OA)·BD＝PO·BD.∴当点P与点B重合时，PA·BD取得最大值，2即PA·BD＝PO·BD＝××＝1；当点P与点D重合时，PA·BD取得最小值，即PA·BD＝－××＝－1.∴PA·BD的取值范围是[－1,1]．(2)以等腰直角三角形的直角边BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，则B(0,0)，直线AC的方程为x＋y＝2.设M(a,2－a)，则0
