第2讲数列求和及简单应用1.(2013·全国Ⅰ卷,理14)若数列{an}的前n项和Sn=an+,则{an}的通项公式是an=.解析:当n=1时,由已知Sn=an+,得a1=a1+,即a1=1;当n≥2时,Sn-1=an-1+,所以an=Sn-Sn-1=an+-an-1+=an-an-1,所以an=-2an-1,所以数列{an}是等比数列,其中首项a1=1,公比q=-2,所以an=(-2)n-1.答案:(-2)n-12.(2017·全国Ⅱ卷,理15)等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=3,S4=10,则=.解析:因为所以解得所以an=n,Sn=,所以==2-,所以=21-+-+…+-=21-=.答案:3.(2015·全国Ⅱ卷,理16)设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn=.解析:因为an+1=Sn+1-Sn,所以Sn+1-Sn=Sn+1Sn,又由a1=-1,知Sn≠0,所以-=1,所以是等差数列,且公差为-1,而==-1,所以=-1+(n-1)×(-1)=-n,所以Sn=-.答案:-4.(2014·全国Ⅱ卷,理17)已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1.(1)证明是等比数列,并求{an}的通项公式;(2)证明:++…+<.证明:(1)由an+1=3an+1得an+1+=3an+,又a1+=,所以an+是首项为,公比为3的等比数列.an+=,因此{an}的通项公式为an=.(2)由(1)知=.因为当n≥1时,3n-1≥2×3n-1,所以≤,于是++…+≤1++…+=1-<.所以++…+<.5.(2015·全国Ⅰ卷,理17)Sn为数列{an}的前n项和,已知an>0,+2an=4Sn+3.(1)求{an}的通项公式;(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和.解:(1)由+2an=4Sn+3,可知+2an+1=4Sn+1+3.可得-+2(an+1-an)=4an+1,即2(an+1+an)=-=(an+1+an)(an+1-an).由于an>0,可得an+1-an=2.又+2a1=4a1+3,解得a1=-1(舍去)或a1=3.所以{an}是首项为3,公差为2的等差数列,通项公式为an=2n+1.(2)由an=2n+1可知bn===-.设数列{bn}的前n项和为Tn,则Tn=b1+b2+…+bn=-+-+…+-=.1.考查角度考查数列求通项公式(利用通项与前n项和的关系、数列递推式等),考查数列求和(公式法、分组法、裂项法、错位相减法等).2.题型及难易度选择题、填空题、解答题均有,难度中等偏下.(对应学生用书第28~31页)数列的通项公式【例1】(1)(2018·安徽黄山一模)数列{an}中,已知对任意正整数n,有a1+a2+…+an=2n-1,则++…+等于()(A)(2n-1)2(B)(2n-1)2(C)4n-1(D)(4n-1)(2)在数列{an}中,已知a1=2,an+1=(k∈N*),则an的表达式是()(A)(B)(C)(D)(3)(2018·河北石家庄一模)若数列{an}满足a1=2,an+1=,则a2018的值为()(A)2(B)-3(C)-(D)解析:(1)由递推关系可得a1=1,a1+a2+…+an-1+an=2n-1,a1+a2+…+an-1=2n-1-1,两式作差可得an=2n-2n-1=2n-1,则==22n-2=4n-1,故数列{}是首项为1,公比为4的等比数列,结合等比数列前n项和公式有++…+==(4n-1).故选D.(2)因为an+1=,所以==+3,所以数列是等差数列,公差d=3.又a1=2,所以=,所以=+(n-1)d=+3(n-1)=3n-,所以an==.故选B.(3)由题a1=2,an+1=,所以a2==-3,a3==-,a4==,a5==2.故数列{an}是以4为周期的周期数列,故a2018=a504×4+2=a2=-3.故选B.求数列的通项公式的基本类型:(1)利用an=直接求解,或者据此得出数列的递推式求解,特别是已知Sn=kan+b(k≠0,1,b≠0)时可得数列{an}一定是等比数列;(2)三种简单的递推数列:an+1-an=f(n),=f(n),an+1=pan+q(p≠0,1,q≠0),第一个使用累差的方法、第二个使用累积的方法、第三个可以使用待定系数法化为等比数列(设an+1+λ=p(an+λ),展开比较系数得出λ);(3)周期数列,通过验证或者推理得出数列的周期性后得出其通项公式.热点训练1:(1)(2018·湖南长沙雅礼中学、河南省实验中学联考)在数列{an}中,a1=2,=+ln1+,则an等于()(A)2+nlnn(B)2n+(n-1)lnn(C)2n+nlnn(D)1+n+nlnn(2)(2018·福建三明5月质检)若Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=2an-2,则S8等于()(A)255(B)256(C)510(D)511(3)(2018·山东济宁一模)设数列{an}满足a1=1,a2=2,且2nan=(n-1)an-1+(n+1)an+1(n≥2且n∈N*),则a18等于()(A)(B)(C)3(D)(4)(2018·莆田二模)在数列{an}中,a1=2,an+1=2an+1,则a5为.解析:(1)由题意得-=ln(n+1)-lnn,n分别用1,2,3,…,(n-1)取代,累加得-=lnn-ln1=lnn,=2+lnn,所以an=(lnn+2)n.故选C.(2)当n=1时,a1=2a1-2,据此可得a1=2,当n≥2时Sn=2an-2,Sn-1=2an-1-2,两式作差可得an=2an-2an-1,则an=2an-1,据此可得数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列,其前8项和为S8==29-2=512-2=510.故选C.(3)令bn=nan,则2bn=bn-1+bn+1,所以{bn}为等差数列,因为b1=1,b2=4,所以公差d=3,则bn=3n-...
