第三章导数及其应用考试内容等级要求导数的概念A导数的几何意义B导数的运算B利用导数研究函数的单调性与极值B导数在实际问题中的应用B§3.1导数的概念及运算考情考向分析导数的概念和运算是高考的必考内容，一般渗透在导数的应用中考查；导数的几何意义常与解析几何中的直线交汇考查；题型为填空题或解答题的第(1)问，低档难度．1．导数的概念(1)函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为，若Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则平均变化率可表示为.(2)设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，当Δx无限趋近于0时，比值＝无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)．2．导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)．3．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α为常数)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝ax(a>0，a≠1)f′(x)＝axlnaf(x)＝lnxf′(x)＝f(x)＝logax(a>0，a≠1)f′(x)＝4.导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)′＝(g(x)≠0)．5．复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．概念方法微思考1．根据f′(x)的几何意义思考一下，|f′(x)|增大，曲线f(x)的形状有何变化？提示|f′(x)|越大，曲线f(x)的形状越来越陡峭．2．直线与曲线相切，是不是直线与曲线只有一个公共点？提示不一定．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(×)(2)f′(x0)＝[f(x0)]′.(×)(3)(2x)′＝x·2x－1.(×)(4)若f(x)＝e2x，则f′(x)＝e2x.(×)题组二教材改编2．[P26T2]若f(x)＝x·ex，则f′(1)＝.答案2e解析 f′(x)＝ex＋xex，∴f′(1)＝2e.3．[P26T3]曲线y＝1－在点(－1，－1)处的切线方程为．答案2x－y＋1＝0解析 y′＝，∴y′|x＝－1＝2.∴所求切线方程为2x－y＋1＝0.题组三易错自纠4．设f(x)＝ln(3－2x)＋cos2x，则f′(0)＝.答案－解析因为f′(x)＝－－2sin2x，所以f′(0)＝－.5．设函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)＝f′sinx＋cosx，则f′＝.答案－解析因为f(x)＝f′sinx＋cosx，所以f′(x)＝f′cosx－sinx，所以f′＝f′cos－sin，即f′＝－1，所以f(x)＝－sinx＋cosx，f′(x)＝－cosx－sinx.故f′＝－cos－sin＝－.6．已知a∈R，设函数f(x)＝ax－lnx的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为．答案1解析 f′(x)＝a－，∴f′(1)＝a－1.又 f(1)＝a，∴切线l的斜率为a－1，且过点(1，a)，∴切线l的方程为y－a＝(a－1)(x－1)，即y＝(a－1)x＋1.故l在y轴上的截距为1.题型一导数的计算1．已知f(x)＝sin，则f′(x)＝.答案－cosx解析因为y＝sin＝－sinx，所以y′＝′＝－(sinx)′＝－cosx.2．已知f(x)＝ln，则f′(x)＝.答案解析y′＝′＝′＝·＝.3．f(x)＝x(2019＋lnx)，若f′(x0)＝2020，则x0＝.答案1解析f′(x)＝2019＋lnx＋x·＝2020＋lnx，由f′(x0)＝2020，得2020＋lnx0＝2020，∴x0＝1.4．若f(x)＝x2＋2x·f′(1)，则f′(0)＝.答案－4解析 f′(x)＝2x＋2f′(1)，∴f′(1)＝2＋2f′(1)，即f′(1)＝－2，∴f′(x)＝2x－4，∴f′(0)＝－4.思维升华(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，尽量避免不必要的商的求导法则，这样可以减少运算量，提高运算速度减少差错．(2)①若函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导．②复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时可进行换元．题型二导数的几何意义命题点1求切线方程例1(1)已知函数f(x＋1)＝，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为．答案1解析由f(x＋1)＝，知f(x)＝＝2－.∴f′(x)＝，∴f′(1)＝1.由导数的几何意义知，所求切线的斜率k＝1.(2)已...
