第1讲平面向量的概念及线性运算一、知识梳理1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．[注意](1)向量不同于数量，向量不仅有大小，而且还有方向．(2)任意向量a的模都是非负实数，即|a|≥0.2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μ当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0a；λ(a＋b)＝λa＋λb3.向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa．常用结论1．两特殊向量(1)零向量和单位向量是两个特殊的向量．它们的模是确定的，但方向不确定．(2)非零向量a的同向单位向量为.2．几个重要结论(1)若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则OP＝(OA＋OB)．(2)OA＝λOB＋μOC(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1.(3)若G为△ABC的重心，则有①GA＋GB＋GC＝0；②AG＝(AB＋AC)．二、习题改编1．(必修4P86例4改编)已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且OA＝a，OB＝b，则DC＝，BC＝．(用a，b表示)解析：如图，DC＝AB＝OB－OA＝b－a，BC＝OC－OB＝－OA－OB＝－a－b.答案：b－a－a－b2．(必修4P118A组T2(3)改编)在平行四边形ABCD中，若|AB＋AD|＝|AB－AD|，则四边形ABCD的形状为．解析：如图，因为AB＋AD＝AC，AB－AD＝DB，所以|AC|＝|DB|.由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD是矩形．答案：矩形一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．()(2)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．()(3)若向量AB与向量CD是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．()(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√二、易错纠偏(1)对向量共线定理认识不准确；(2)向量的减法忽视两向量的方向关系致误．1．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.若a＋b＝0，则a＝－b，所以a∥b.若a∥b，则a＋b＝0不一定成立．故前者是后者的充分不必要条件．2．点D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD＝()A．－BC＋BAB．－BC－BAC.BC－BAD．BC＋BA答案：A平面向量的有关概念(师生共研)给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；③若A，B，C，D是不共线的四点，且AB＝DC，则四边形ABCD为平行四边形；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.其中真命题的序号是．【解析】①是错误的，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点．②是错误的，|a|＝|b|，但a，b的方向不确定，所以a，b的方向不一定相等或相反．③是正确的，因为AB＝DC，所以|AB|＝|DC|且AB∥DC，又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形．④是错误的，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．【答案】③平面向量有关概念的四个关注点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．(4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量．1．给出下列命题：①向量AB的长度与向量BA的长度相等；②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；③|a|＋|b|＝|a＋b|⇔a与b方向相同；④若非零向量a与非零向量b的方向相同或相反，则...
