平面向量的基本定理与坐标表示1．了解平面向量的基本定理及其意义，了解基底的概念，会进行向量的正交分解及其坐标表示．2．理解平面向量坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算，会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．3．理解用坐标表示的平面向量共线的条件，能用向量的坐标形式判断两向量及三点是否共线．知识梳理1．平面向量的基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内的所有向量的一组基底.2．正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．3．向量的直角坐标在平面直角坐标系xOy内，分别取与x轴和y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的向量a，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，(x，y)就叫做在基底i，j下的坐标．4．向量的直角坐标运算若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则(1)a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)；(2)a－b＝(x1－x2，y1－y2)；(3)若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy)；(4)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1).5．平面向量共线的坐标表示若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0.1．若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.2．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如果x2，y2≠0，则a∥b＝.3．中点与重心的坐标公式(1)若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P(x，y)为P1P2的中点，则点P的坐标为(，)；(2)设三角形的三个顶点的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，重心G的坐标为(，)．热身练习1．在下列向量组中，可以把向量a＝(3,2)表示出来的是(B)A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)由题意知，A选项中e1＝0.C，D项中的两向量均共线，都不符合基底条件，故选B.事实上，a＝(3,2)＝2e1＋e2.2．设i，j分别为与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量，若a＝2i＋3j，则向量a的坐标为(A)A．(2,3)B．(3,2)C．(－2，－3)D．(－3，－2)由向量坐标的定义可知a的坐标为(2,3)．3．若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c＝(B)A．－a＋bB.a－bC．－a＋bD.a＋b由平面向量的基本定理可知，可设c＝xa＋yb.即(－1,2)＝x(1,1)＋y(1，－1)．所以解得所以c＝a－b.4．(2018·长春二模)已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(－2,0)，则|a＋2b|＝(A)A．3B．3C．2D．5由题意a＋2b＝(－3，－3)，所以|a＋2b|＝＝3.5．(2016·全国卷Ⅱ)已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝－6.因为a＝(m,4)，b＝(3，－2)，a∥b，所以－2m－4×3＝0，所以m＝－6.平面向量基本定理的应用向量a，b，c在正方形网中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________.以向量a，b的公共点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，可得a＝(－1,1)，b＝(6,2)，c＝(－1，－3)，因为c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，即(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)＝(－λ＋6μ，λ＋2μ)，所以解得所以＝4.4(1)平面内的任何向量都可由基底唯一表示出来，因此，若有c＝λa＋μb，则可转化为确定待定参数λ，μ的问题，从而可通过建立方程组利用解方程的方法进行解决．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．1．(2018·洛阳三模)如图，正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若AC＝λAM＋μBN，则λ＋μ＝(D)A．2B.C.D.因为AC＝λAM＋μBN＝λ(AB＋BM)＋μ(BC＋CN)＝λ(AB＋AD)＋μ(AD－AB)＝(λ－μ)AB＋(λ＋μ)AD，所以解得所以λ＋μ＝.向量的坐标运算(1)已知平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的坐标分别为(1,0)，(0,2)，(－1，－2)，则顶点D的坐标为__________．(2)向量a＝(2，－9)，向量b＝(－3，3)，则与a－b同向的单位向量为()A．(，－)B．(－，)C．(，－)D．(－，)(1)设D的坐标为(x，y)，因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB＝DC，所以(0,2)－(1,0)＝(－1，－2)－(x，y)，所以(－1,2)＝(－1－x，－2－y)，所以所以所以D的坐标为(0，－4)．(2)由已知得a－b＝...
