第1节数列的概念及简单表示法最新考纲1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式)；2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.知识梳理1.数列的定义按照一定次序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项.2.数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列an＋1＞an其中n∈N+递减数列an＋1＜an常数列an＋1＝an摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图像法和解析法.4.数列的通项公式(1)通项公式：如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个式子an＝f(n)来表示，那么这个公式叫作这个数列的通项公式.(2)递推公式：如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫作这个数列的递推公式.[微点提醒]1.若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝2.数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关.3.易混项与项数的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号.基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.()(2)1，1，1，1，…，不能构成一个数列.()(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.()(4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对任意n∈N+，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.()解析(1)数列：1，2，3和数列：3，2，1是不同的数列.(2)数列中的数是可以重复的，可以构成数列.(3)数列可以是常数列或摆动数列.答案(1)×(2)×(3)×(4)√2.(必修5P6练习1改编)在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2)，则a5等于()A.B.C.D.解析a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝，a4＝1＋＝3，a5＝1＋＝.答案D3.(必修5P8A1改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an＝________.解析由a1＝1＝5×1－4，a2＝6＝5×2－4，a3＝11＝5×3－4，…，归纳an＝5n－4.答案5n－44.(2019·衡水中学摸底)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N+)，Sn为其前n项和，则S5的值为()A.57B.61C.62D.63解析由条件可得a2＝2a1＋1＝3，a3＝2a2＋1＝7，a4＝2a3＋1＝15，a5＝2a4＋1＝31，所以S5＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1＋3＋7＋15＋31＝57.答案A5.(2019·安康月考)数列0，1，0，－1，0，1，0，－1，…的一个通项公式an等于()A.B.cosC.cosπD.cosπ解析令n＝1，2，3，…，逐一验证四个选项，易得D正确.答案D6.(2019·郑州一模)设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝，若a4＝32，则a1＝________.解析 Sn＝，a4＝32，则a4＝S4－S3＝32.∴－＝32，∴a1＝.答案考点一由数列的前几项求数列的通项【例1】(1)已知数列的前4项为2，0，2，0，则依此归纳该数列的通项不可能是()A.an＝(－1)n－1＋1B.an＝C.an＝2sinD.an＝cos(n－1)π＋1(2)已知数列{an}为，，－，，－，，…，则数列{an}的一个通项公式是________.解析(1)对n＝1，2，3，4进行验证，an＝2sin不合题意.(2)各项的分母分别为21，22，23，24，…，易看出从第2项起，每一项的分子都比分母少3，且第1项可变为－，故原数列可变为－，，－，，…，故其通项公式可以为an＝(－1)n·.答案(1)C(2)an＝(－1)n·规律方法由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)k或(－1)k＋1，k∈N+处理.【训练1】写出下列各数列的一个通项公式：(1)－，，－，，…；(2)，2，，8，，…；(3)5，55，555，5555，….解(1)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公...
