第三节圆与方程1．圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圆心：(a，b)，半径：r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，(D2＋E2－4F＞0)圆心：，半径：2.点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.[小题体验]1．设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0＜a＜1，则原点与圆的位置关系是________．解析：将圆的一般方程化成标准方程，得(x＋a)2＋(y＋1)2＝2a，因为0＜a＜1，所以(0＋a)2＋(0＋1)2－2a＝(a－1)2＞0，即＞，所以原点在圆外．答案：原点在圆外2．圆C的直径的两个端点分别是A(－1,2)，B(1,4)，则圆C的标准方程为________．解析：设圆心C的坐标为(a，b)，则a＝＝0，b＝＝3，故圆心C(0,3)．半径r＝AB＝＝.所以圆C的标准方程为x2＋(y－3)2＝2.答案：x2＋(y－3)2＝23．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是________．解析：因为点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，所以(1－a)2＋(1＋a)2＜4.即a2＜1，故－1＜a＜1.答案：(－1,1)对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时易忽视D2＋E2－4F＞0这一成立条件．[小题纠偏]若点(1，－1)在圆x2＋y2－x＋y＋m＝0外，则m的取值范围是________．解析：由题意可知解得0＜m＜.答案：[题组练透]1．(2019·东台中学检测)已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则圆C的1标准方程为________．解析：设圆心坐标为(a,0)，则＝，解得a＝2，∴圆心为(2,0)，半径为，∴圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝10.答案：(x－2)2＋y2＝102．(2018·徐州模拟)若圆C的半径为1，点C与点(2,0)关于点(1,0)对称，则圆C的标准方程为____________．解析：因为点C与点(2,0)关于点(1,0)对称，故由中点坐标公式可得C(0,0)，所以所求圆的标准方程为x2＋y2＝1.答案：x2＋y2＝13．以线段AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)为直径的圆的标准方程为____________．解析：因为AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)，所以A(0,2)，B(2,0)，AB＝＝2.所以点A，B的中点为(1,1)，故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.答案：(x－1)2＋(y－1)2＝24．(2019·盐城中学测试)圆经过点A(2，－3)和B(－2，－5)．(1)若圆的面积最小，求圆的方程；(2)若圆心在直线x－2y－3＝0上，求圆的方程．解：(1)要使圆的面积最小，则AB为圆的直径，所以圆心为(0，－4)，半径r＝AB＝，所以所求圆的方程为x2＋(y＋4)2＝5.(2)因为kAB＝，AB的中点为(0，－4)，所以直线AB的中垂线方程为y＋4＝－2x，即2x＋y＋4＝0，解方程组得所以圆心为(－1，－2)．根据两点间的距离公式得半径r＝，因此所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.[谨记通法]1．求圆的方程的2种方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．2．确定圆心位置的3种方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上．(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．[提醒]解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．[锁定考向]与圆有关的最值问题是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想．2常见的命题角度有：(1)斜率型最值问题；(2)截距型最值问题；(3)距离型最值问题．[题点全练]角度一：斜率型最值问题1．(2019·涞水月考)已知实数x，y满足方程(x－3)2＋(y－3)2＝6，求的最大值与最小值．解：方程(x－3)2＋(y－3)2＝6表示以(3,3)为圆心，为半径的圆．的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设＝k，即y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时＝，解得k＝3±2.所以的最大值为3＋2，最小值为3－2.角度二：截距型最值问题2．(2018·东海高级中学测...
