第3讲数列的综合问题数列不等式的证明[核心提炼]数列不等式的证明问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．与数列有关的不等式除利用数学归纳法证明外，还可以借助以下方法：若所证数列不等式能够转化为函数，可借助函数的单调性证明；若所证数列不等式两边均是整式多项式，可以借助比较法；若所证数列能够求和，且所证不等式与和式有关，可先求出其和，再借助放缩法证明．[典型例题]已知数列{xn}满足：x1＝1，xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)(n∈N*)．证明：当n∈N*时，(1)00
假设n＝k时，xk>0，那么n＝k＋1时，若xk＋1≤0时，则00
因此xn>0(n∈N*)．所以xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)>xn＋1
因此00)，函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以f(x)≥f(0)＝0，因此x－2xn＋1＋(xn＋1＋2)ln(1＋xn＋1)＝f(xn＋1)≥0，故2xn＋1－xn≤(n∈N*)．(3)因为xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)≤xn＋1＋xn＋1＝2xn＋1，所以xn≥
由≥2xn＋1－xn得－≥2>0，所以－≥2≥…≥2n－1＝2n－2，故xn≤
综上，≤xn≤(n∈N*)．证明数列不等式常用的四种方法(1)构造函数，结合数列的单调性证明．(2)若待证不等式的两边均为关于n的整式多项式，常用作差比较法证明数列不等式．(3)与数列前n项和有关的不等式的证明方法主要有两种：一是若数列的通项能够直接求和，则先求和后，再根据和的性质证明不等式；二是若数列的通项不能够直接求和，则先放缩后再求和证明．1(4)当待证不等式随n的变化呈现的规律较明显，且初始值n0易于确定时，用数学归纳法证明．[对点训练]1．设数列{an}满足≤1，n∈N*
(1)证明：|an|≥2n－1(|a1|－2)，n∈N*；(2)若|an|≤，n∈N*，证明：|an|≤2，
