第3讲数列的综合问题数列不等式的证明[核心提炼]数列不等式的证明问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．与数列有关的不等式除利用数学归纳法证明外，还可以借助以下方法：若所证数列不等式能够转化为函数，可借助函数的单调性证明；若所证数列不等式两边均是整式多项式，可以借助比较法；若所证数列能够求和，且所证不等式与和式有关，可先求出其和，再借助放缩法证明．[典型例题]已知数列{xn}满足：x1＝1，xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)(n∈N*)．证明：当n∈N*时，(1)0
0.当n＝1时，x1＝1>0.假设n＝k时，xk>0，那么n＝k＋1时，若xk＋1≤0时，则00.因此xn>0(n∈N*)．所以xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)>xn＋1.因此00(x>0)，函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以f(x)≥f(0)＝0，因此x－2xn＋1＋(xn＋1＋2)ln(1＋xn＋1)＝f(xn＋1)≥0，故2xn＋1－xn≤(n∈N*)．(3)因为xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)≤xn＋1＋xn＋1＝2xn＋1，所以xn≥.由≥2xn＋1－xn得－≥2>0，所以－≥2≥…≥2n－1＝2n－2，故xn≤.综上，≤xn≤(n∈N*)．证明数列不等式常用的四种方法(1)构造函数，结合数列的单调性证明．(2)若待证不等式的两边均为关于n的整式多项式，常用作差比较法证明数列不等式．(3)与数列前n项和有关的不等式的证明方法主要有两种：一是若数列的通项能够直接求和，则先求和后，再根据和的性质证明不等式；二是若数列的通项不能够直接求和，则先放缩后再求和证明．1(4)当待证不等式随n的变化呈现的规律较明显，且初始值n0易于确定时，用数学归纳法证明．[对点训练]1．设数列{an}满足≤1，n∈N*.(1)证明：|an|≥2n－1(|a1|－2)，n∈N*；(2)若|an|≤，n∈N*，证明：|an|≤2，n∈N*.证明：(1)由≤1，得|an|－|an＋1|≤1，故－≤，n∈N*，所以－＝＋＋…＋≤＋＋…＋＜1，因此|an|≥2n－1(|a1|－2)．(2)任取n∈N*，由(1)知，对于任意m＞n，－＝＋＋…＋≤＋＋…＋＜，故|an|＜·2n≤·2n＝2＋·2n.从而对于任意m＞n，均有|an|＜2＋·2n.①由m的任意性得|an|≤2.否则，存在n0∈N*，有|an0|＞2，取正整数m0＞log且m0＞n0，则2n0·＜2n0·＝|an0|－2，与①式矛盾，综上，对于任意n∈N*，均有|an|≤2.2．已知数列{an}满足，a1＝1，an＝－.(1)求证：≤an≤1；(2)求证：|an＋1－an|≤.证明：(1)由已知得an＋1＝，计算a2＝，a3＝，a4＝，猜想≤an≤1.下面用数学归纳法证明．①当n＝1时，命题显然成立；②假设n＝k时，有≤an≤1成立，则当n＝k＋1时，ak＋1＝≤＜1，ak＋1＝≥＝，即当n＝k＋1时也成立，所以对任意n∈N*，都有≤an≤1.(2)当n＝1时，|a1－a2|＝，当n≥2时，因为(an＋)(an－1＋)＝(an＋)·＝1＋≥1＋＝，所以|an＋1－an|＝＝≤|an－an－1|≤…≤|a2－a1|＝·<.综上知，|an＋1－an|≤.数列中的交汇创新问题[核心提炼]数列在中学教材中既有相对独立性，又有较强的综合性，很多数列问题一般转化为特殊数列求解，一些题目常与函数、向量、三角函数、解析几何、不等式等知识交汇结合，考查数列的基本运算与应用．[典型例题](1)(2018·高考浙江卷)已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1＋a2＋a3＋a4＝ln(a1＋2a2＋a3)．若a1>1，则()A．a1a3，a2a4D．a1>a3，a2>a4(2)已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1＋x2＝3，x3－x2＝2.①求数列{xn}的通项公式；②如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1,1)，P2(x2,2)，…，Pn＋1(xn＋1,n＋1)得到折线P1P2…Pn＋1，求由该折线与直线y＝0，x＝x1，x＝xn＋1所围成的区域的面积Tn.【解】(1)选B.法一：因为lnx≤x－1(x>0)，所以a1＋a2＋a3＋a4＝ln(a1＋a2＋a3)≤a1＋a2＋a3－1，所以a4≤－1，又a1>1，所以等比数列的公比q<0.若q≤－1，则a1＋a2＋a3＋a4＝a1(1＋q)(1＋q2)≤0，而a1＋a2＋a3≥a1>1，所以ln(a1＋a2＋a...
