第1讲数列的概念与简单表示法基础知识整合1．数列的定义按照□一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的□项．2．数列的分类3．数列的表示法数列有三种常见表示法，它们分别是□列表法、□图象法和□解析法．4．数列的通项公式如果数列{an}的第n项与□序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．1．若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝2．在数列{an}中，若an最大，则若an最小，则3．数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．1．在数列{an}中，a1＝1，anan－1＝an－1＋(－1)n(n≥2，n∈N*)，则的值是()A.B.C.D.答案C解析由已知得a2＝1＋(－1)2＝2，∴2a3＝2＋(－1)3，a3＝，∴a4＝＋(－1)4，a4＝13，∴3a5＝3＋(－1)5，∴a5＝，∴＝×＝.故选C.2．(2019·湖南三市联考)设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝，若a4＝32，则a1的值为()A.B.C.D.答案A解析 Sn＝，a4＝32，∴S4－S3＝－＝32，∴a1＝.选A.3．在数列{an}中，a1＝1，对于所有的n≥2，n∈N都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则a3＋a5＝()A.B.C.D.答案A解析当n≥2时，a1·a2·a3·…·an＝n2.当n≥3时，a1·a2·a3·…·an－1＝(n－1)2.两式相除得an＝2，∴a3＝，a5＝.∴a3＋a5＝.故选A.4．在数列{an}中，若a1＝2，an＝(n≥2，n∈N*)，则a8＝()A．－1B．1C.D．2答案A解析因为a1＝2，an＝(n≥2，n∈N*)，所以a2＝＝－1，a3＝＝，a4＝＝2，所以{an}是周期数列，周期是3，所以a8＝a2＝－1.5．已知数列，，，，，…，根据前3项给出的规律，实数对(m，n)为________．答案解析由数列的前3项的规律可知解得故实数对(m，n)为.6．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋，则数列an＝________.答案3－解析由题意，得an＋1－an＝＝－，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝＋＋…＋＋＋2＝3－.核心考向突破考向一利用an与Sn的关系求通项公式例1(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋1，则an＝________.答案解析当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＝4；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋1)－(3n－1＋1)＝2×3n－1.当n＝1时，2×31－1＝2≠a1，所以an＝(2)(2018·全国卷Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和，若Sn＝2an＋1，则S6＝________.答案－63解析根据Sn＝2an＋1，可得Sn＋1＝2an＋1＋1，两式相减得an＋1＝2an＋1－2an，即an＋1＝2an，当n＝1时，S1＝a1＝2a1＋1，解得a1＝－1，所以数列{an}是以－1为首项，以2为公比的等比数列，所以S6＝＝－63.触类旁通Sn与an关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化．①利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．②利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．即时训练1.(2019·宁夏模拟)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________.答案－2解析 an＋1＝Sn＋1－Sn，∴Sn＋1－Sn＝Sn＋1Sn，又由a1＝－1，知Sn≠0，∴－＝1，∴是等差数列，且公差为－1，而＝＝－1，∴＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴Sn＝－.2．(2018·石家庄质检)设数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝________，S5＝________.答案1121解析解法一：由解得a1＝1.由an＋1＝Sn＋1－Sn＝2Sn＋1，得Sn＋1＝3Sn＋1，所以Sn＋1＋＝3，所以是以为首项，3为公比的等比数列，所以Sn＋＝×3n－1，即Sn＝，所以S5＝121.解法二：由解得又an＋1＝2Sn＋1，an＋2＝2Sn＋1＋1，两式相减得an＋2－an＋1＝2an＋1，即＝3，又＝3，∴{an}是首项为1，公比为3的等比数列，∴an＋1＝3n，∴Sn＝，∴S5＝121.考向二由递推关系求数列的通项公式例2分别求出满足下列条件的数列的通项公式．(1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)(n∈N*)；(2)a1＝1，an＝an－1(n≥2，n∈N*)；(3)a1＝1，an＋1＝3an＋2(n∈N*)；(4)a1＝－2，an＋1＝3an＋6(n∈N*)．解(1)an＝a1＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1)＝0＋1＋3＋…＋(2n－5)＋(2n－3)＝(n－1)2，所以数列的通项公式为an＝(n－1)2.(2)当n≥2，n∈N*时，an＝...
