第4讲数列的求和基础知识整合1．倒序相加法如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的．2．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的．3．裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．4．分组转化法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和后再相加减．5．并项求和法一个数列的前n项和，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．常见的拆项公式(1)＝－；(2)＝；(3)＝－.1．(2019·新余三校联考)数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(2n－1)，则该数列的前100项之和为()A．－200B．－100C．200D．100答案D解析根据题意有S100＝－1＋3－5＋7－9＋11－…－197＋199＝2×50＝100.故选D.2．(2019·安徽六校联考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a8＋a11＝30，则S13的值是()A．130B．65C．70D．75答案A解析因为数列{an}是等差数列，且a2＋a8＋a11＝30，所以3a7＝a2＋a8＋a11＝30，则a7＝10，S13＝＝13a7＝13×10＝130.故选A.3．数列1，，2，，4，，…的前2n项和S2n＝________.答案2n－解析S2n＝(1＋2＋4＋…＋2n－1)＋＝2n－1＋1－＝2n－.4．Sn＝＋＋…＋＝________.答案解析通项an＝＝＝，∴Sn＝＝＝.5．(2019·宁夏模拟)等比数列{an}的前n项和为Sn，公比不为1.若a1＝1，对任意的n∈N*，都有an＋2＋an＋1－2an＝0，则S5＝________.答案11解析利用“特殊值”法，确定公比．设公比为q，因为对任意的n∈N*，都有an＋2＋an＋1－2an＝0，则令式中n＝1，得a3＋a2－2a1＝0，所以a1(q2＋q－2)＝0.显然a1≠0，所以由q2＋q－2＝0，解得q＝－2或q＝1(舍去)，则S5＝＝＝11.6．(2018·南京模拟)已知an＝，设bn＝，记{bn}的前n项和为Sn，则Sn＝________.1答案解析bn＝n·3n，于是Sn＝1·3＋2·32＋3·33＋…＋n·3n，①3Sn＝1·32＋2·33＋3·34＋…＋n·3n＋1，②①－②，得－2Sn＝3＋32＋33＋…＋3n－n·3n＋1，即－2Sn＝－n·3n＋1，Sn＝·3n＋1－·3n＋1＋＝.核心考向突破考向一分组转化法求和例1(2019·金华模拟)在等比数列{an}中，an>0(n∈N*)，a1a3＝4，且a3＋1是a2和a4的等差中项，若bn＝log2an＋1.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)若数列{cn}满足cn＝an＋1＋，求数列{cn}的前n项和Sn.解(1)设等比数列{an}的公比为q，且q>0，在等比数列{an}中，由an>0，a1a3＝4得，a2＝2，①又a3＋1是a2和a4的等差中项，所以2(a3＋1)＝a2＋a4，②把①代入②得，2(2q＋1)＝2＋2q2，解得q＝2或q＝0(舍去)，所以an＝a2qn－2＝2n－1，则bn＝log2an＋1＝log22n＝n.(2)由(1)得，cn＝an＋1＋＝2n＋＝2n＋，所以数列{cn}的前n项和Sn＝2＋22＋…＋2n＋＝＋＝2n＋1－2＋.触类旁通分组转化求和通法若一个数列能分解转化为几个能求和的新数列的和或差，可借助求和公式求得原数列的和．求解时应通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化．即时训练1.(2019·衡阳模拟)在等比数列{an}中，公比q≠1，等差数列{bn}满足b1＝a1＝3，b4＝a2，b13＝a3.(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；(2)记cn＝(－1)nbn＋an，求数列{cn}的前2n项和S2n.解(1)由题意，b1＝a1＝3，b4＝a2＝3q，b13＝a3＝3q2.又 {bn}为等差数列，设公差为d，∴化简得q2－4q＋3＝0，∴q＝1(舍)或q＝3，∴an＝3n， d＝＝2，∴bn＝3＋2(n－1)＝2n＋1.(2)由题意得cn＝(－1)n(2n＋1)＋3n.S2n＝－3＋3＋5＋32－7＋33＋…－(4n－1)＋32n－1＋(4n＋1)＋32n＝(3＋32＋…＋32n)＋[－3＋5－7＋9－…－(4n－1)＋(4n＋1)]＝＋{(5－3)＋(9－7)＋…＋[(4n＋1)－(4n－1)]}＝＋2n.考向二裂项相消法求和角度\s\up7()形如an＝型例2(2019·正定模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，若d，S9为函数f(x)＝(x－2)(x－99)的两个零点且d
