第3讲平面向量的数量积及应用基础知识整合1．数量积的有关概念(1)两个非零向量a与b，过O点作OA＝a，OB＝b，则□∠AOB＝θ，叫做向量a与b的夹角；范围是□0°≤θ≤180°.(2)a与b的夹角为□90度时，叫a⊥b.(3)若a与b的夹角为θ，则a·b＝□|a||b|cosθ.(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝□x1x2＋y1y2.(5)a在b的方向上的投影为□|a|cosθ.(6)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，夹角为θ，则|a|＝□，cosθ＝□.a⊥b⇔□x1x2＋y1y2＝0.a∥b⇔□x1y2－x2y1＝0.2．数量积满足的运算律已知向量a，b，c和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：(1)a·b＝□b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝□a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝□a·c＋b·c.1．数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)不能得出b＝c，两边不能约去一个向量．2．数量积不满足结合律(a·b)·c≠a·(b·c)．3．当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，特别地，a·a＝a2或|a|＝.1．(2019·重庆模拟)已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝()A．－B．0C．3D．答案C解析因为2a－3b＝(2k－3，－6)，(2a－3b)⊥c，所以(2a－3b)·c＝2(2k－3)－6＝0，解得k＝3.选C.2．(2019·泉州质检)已知正六边形ABCDEF的边长为1，则AB·(CB＋BA)的值为()A．B．－C．D．－答案D解析由图知，AB与CB的夹角为120°.∴AB·(CB＋BA)＝AB·CB＋AB·BA＝cos120°－12＝－.3．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝()A．4B．3C．2D．0答案B解析因为a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－(－1)＝2＋1＝3.故选B.4．(2016·全国卷Ⅲ)已知向量BA＝，BC＝，则∠ABC＝()A．30°B．45°C．60°D．120°答案A解析cos∠ABC＝＝，所以∠ABC＝30°.故选A.5．(2019·三门峡质检)已知向量a，b满足|2a＋b|＝，且a⊥b，则|2a－b|＝________.答案解析 |2a＋b|＝，∴(2a＋b)2＝7，即4a2＋b2＋4a·b＝7， a⊥b，∴a·b＝0，∴4a2＋b2＝7，∴|2a－b|＝＝＝.6．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE·CB的值为________，DE·DC的最大值为________．答案11解析DE·CB＝(DA＋AE)·CB＝(CB＋AE)·CB＝|CB|2＋AE·CB.因为AE⊥CB，所以AE·CB＝0.所以DE·CB＝12＋0＝1.设AE＝λAB(0≤λ≤1)，则DE·DC＝(DA＋AE)·DC＝DA·DC＋AE·DC＝λ|DC|2(0≤λ≤1)，∴DE·DC的最大值为1.核心考向突破考向一平面向量数量积的运算例1(1)(2019·绍兴模拟)已知向量a，b满足|a|＝，(a＋2b)⊥a，则向量b在向量a方向上的投影为()A．－B．C．D．－答案A解析 (a＋2b)⊥a，∴(a＋2b)·a＝2＋2|a||b|·cos〈a，b〉＝0，∴|a||b|cos〈a，b〉＝－1，即|b|cos〈a，b〉＝－1，∴向量b在向量a方向上的投影为|b|cos〈a，b〉＝－，故选A.(2)(2018·上海高考)在平面直角坐标系中，已知点A(－1，0)，B(2,0)，E，F是y轴上的两个动点，且|EF|＝2，则AE·BF的最小值为________．答案－3解析设E(0，m)，F(0，n)，又A(－1,0)，B(2,0)，∴AE＝(1，m)，BF＝(－2，n)．∴AE·BF＝－2＋mn，又知|EF|＝2，∴|m－n|＝2.①当m＝n＋2时，AE·BF＝mn－2＝(n＋2)n－2＝n2＋2n－2＝(n＋1)2－3.∴当n＝－1，即E(0,1)，F(0，－1)时，AE·BF取得最小值－3.②当m＝n－2时，AE·BF＝mn－2＝(n－2)n－2＝n2－2n－2＝(n－1)2－3.∴当n＝1，即E(0，－1)，F(0,1)时，AE·BF取得最小值－3.综上可知，AE·BF的最小值为－3.触类旁通向量数量积的两种运算方法(1)当向量的模和夹角已知时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．2当向量的坐标已知时，可利用坐标法求解，即若a＝x1，y1，b＝x2，y2，则a·b＝x1x2＋y1y2.即时训练1.(2019·湖北模拟)已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量AB在CD方向上的投影为()A．B．C．－D．－答案A解析AB＝(2,1)，CD＝(5,5)，由定义知AB在CD方向上的投影为＝＝.2．已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a·b＝0，则实数k的值为________．答案解析因为a·b＝(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝ke＋(1－2k)(e1·e2)－2e，且|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝－，所以k＋(1－2k)...
