看山不是山，看山还是山——椭圆的有关概念和性质教学设计教学目标1．通过对椭圆第一定义、第二定义和“第三定义”的复习探究，温故知新，建立联系，使学生能站在系统的高度认识椭圆的有关概念．2．了解椭圆准线概念的来历，经历直线和椭圆相切关系的与准线的探求过程．3．体会利用坐标法及数形结合思想来研究解决解析几何问题过程．教学过程一．温故知新，建构联系师：高二时，我们由椭圆第一定义导出了椭圆的标准方程，推导过程摘录如下：设M是椭圆上任意一点，焦点F和F的坐标分别是，（图1）。由椭圆的定义可得：将这个方程移项，两边平方得两边再平方，整理得其中．问题1如右图，你能找到椭圆的焦点吗？目的：形数结合，复习巩固关系：．问题2为什么将（3）式作为椭圆的标准方程？学生回答，教师总结，理由大致以下：1、（3）式简捷，具有对称的美感。2、（3）式便于用待定系数法求解椭圆的轨迹方程。3、（3）式方便研究椭圆的几何性质。针对上述理由3，自然引出椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等性质的复习。已知椭圆的方程为。⑴求椭圆的焦点、准线、离心率、长轴长、短轴长、焦距；⑵若椭圆上一点P到左焦点F1的距离为６，求P点到右焦点F2的距离和P点到右准线的距离。师：以上我们讨论了（3）式作为椭圆标准方程的很多优点，如果一分为二的分析，试问：问题3：将（3）式作为椭圆的标准方程必有它的缺点，它有什么缺点？共同分析（3）式无法揭示椭圆上的动点到定点的距离之和等于定长2a这一本质属性，相比之下（1）式恰好具有这一优点。讨论（1）式的优缺点，有：1、（1）式充分揭示了椭圆的定义。MF2F1yOx（图1）B12、（1）式难以讨论椭圆的其他几何性质，如范围、对称性、顶点等等。通过以上讨论，自然产生：问题4：是否存在一个方程，同时体现椭圆的第一定义和椭圆的几何性质？引导学生研究（2）式，将（2）式变形，得即同理可得将（2）式再变形，得即（5）（6）两式将椭圆上点到焦点的距离转化为只和焦点的横坐标有关的一维算式，体现降维思想。而（7）式正好揭示了椭圆的第二定义，由此，我们看到了准线的产生过程，这正是课本第111页例4的意图（图2）。师：总结以上讨论，我们发现对（1）式的每一次变形，都会收到令人激动的结果，那么自然会有：问题5：（1）式还有其他变形吗？如果有又能得到什么收获呢？课本P106练习4△ABC的两顶点A，B坐标分别是（－6，0）（6，0），边AC，BC所在直线斜率乘积等于，求顶点C的轨迹方程。本题较简单，学生很快得出结果：竟然也是椭圆方程！上升到一般：问题6若动点到两定点A,B的连线的斜率之积等于常数的轨迹方程为，常数应等于多少呢？探究：设椭圆上任一点为P（x0,y0），则PxMyOF2（图2）由此，我们得到这个常数应为．即：若动点到两定点A,B的连线的斜率之积等于常数（），也即则动点的轨迹为椭圆（去掉椭圆的长轴顶点）．不妨称此为“椭圆第三定义”，你发现它和第一定义的联系了吗？注1．将第三定义中的常数m取不同值，可让学生讨论所得曲线类型（椭圆、圆、双曲线）．2.在后续课时的复习中，由椭圆、双曲线的第一定义，还可进一步引导学生思考：到两定点距离之比等于常数的点的轨迹是什么？（直线或圆），再进一步，还可让基础好的学生思考怎样得到抛物线的定义．3.有第三定义，还有第四定义吗？……，设AB=2c，动点C到A、B的距离分别为,若点C轨迹为椭圆，则有所以，若时，动点C的轨迹是以A、B为焦点，长半轴长为的椭圆．课下探索：（江西高考0721）设动点到点和的距离分别为和，，且存在常数，使得．（1）证明：动点的轨迹为双曲线，并求出的方程；（2）过点作直线双曲线的右支于两点，试确定的范围，使，其中点为坐标原点．本节目的意在通过构造椭圆的常用方法，复习椭圆的第一定义，第二定义，“第三定义”，寻找联系，构建知识网络．使学生多角度认识椭圆，进一步整合知识．还训练由数思形，由形想数，数形结合的意识。二．创设情境，发现准线yyPBOA1d2d2已知，是圆：（为圆心）上一动点，线段的垂直平分线交于，则动点的轨迹方程为___________.（重庆文0516，石家庄市2005质检题一问）本题目的有二：1.复习椭圆第一定义...
