高中数学解题技巧复习教案（5）：向量与三角函数VIP专享VIP免费

第五讲向量与三角函数【考点透视】1．理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算．2．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义，掌握同解三角函数的基本关系式，掌握正弦、余弦的诱导公式，理解周期函数与最小正周期的意义．3．掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．4．能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明．5．了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+ψ)的简图，理解A、ω、ψ的物理意义．6．会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx,arcosx,arctanx表示．7．掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解三角形的计算问题．8．掌握向量与三角函数综合题的解法．常用解题思想方法1．三角函数恒等变形的基本策略。（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角：α=（α+β）－β，β=2－2等。（3）降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次。（4）化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。（5）引入辅助角。asinθ+bcosθ=22basin(θ+)，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan=ab确定。（6）万能代换法。巧用万能公式可将三角函数化成tan2的有理式。2．证明三角等式的思路和方法。（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。3．证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。4．解答三角高考题的策略。（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。【例题解析】考点1．三角函数的求值与化简此类题目主要有以下几种题型：⑴考查运用诱导公式和逆用两角和的正弦、余弦公式化简三角函数式能力，以及求三角函数的值的基本方法.⑵考查运用诱导公式、倍角公式，两角和的正弦公式，以及利用三角函数的有界性来求的值用心爱心专心的问题.⑶考查已知三角恒等式的值求角的三角函数值的基本转化方法，考查三角恒等变形及求角的基本知识.例1.已知函数f(x)=)2sin(42cos2xx.（Ⅰ）求f(x)的定义域；（Ⅱ）若角a在第一象限且3cos,5afa求（）.命题目的：本小题主要考查三角函数的定义域和两角差的公式，同角三角函数的关系等基本知识，考查运算和推理能力，以及求角的基本知识.解：（Ⅰ）由Z),(2,202sinkkxkxx即得故f(x)的定义域为.Z,2|Rkkxx（Ⅱ）由已知条件得.54531cos1sin22aa从而)2sin()42cos(21)(aaaf＝aaacos4sin2sin4coscos21＝aaaaaaacoscossin2cos2cossin2cos12＝.514)sin(cos2aa例2.310.43aaa已知，tan+cos（Ⅰ）求tana的值；（Ⅱ）求225sin8sincos11cos822222sin()aaaaa的值－4.命题目的：本小题主要考查同角三角函数的关系式、两角差的公式，倍角公式等基本知识，考查运算和推理能力.解答过程：（Ⅰ）10tancos3aa，23tan10tan30aa，解得1tan3a或tan3a.用心爱心专心3,1tan04aa.1tan.3a（II）1tan3a，225sin8sincos11cos822222sin()4aaaaaa＝221cos5(sincos)4sin68222sincosaaaaaa＝4tan35tan14aa.例3已知0,1413)cos(,71cos且<<<2,(Ⅰ)求2tan的值.（Ⅱ）求.命题目的：本题考三角函数的基本公式以及三角函数式的恒等变形等基础知识和基本运算技能....