五年高考真题分类汇编：矩阵与变换1．•（江苏高考）已知矩阵A＝，B＝，求矩阵A－1B.解：设矩阵A的逆矩阵为，则＝，即＝，故a＝－1，b＝0，c＝0，d＝，从而A的逆矩阵为A－1＝，所以A－1B＝＝.2．•（福建高考理）已知直线l：ax＋y＝1在矩阵A＝对应的变换作用下变为直线l′：x＋by＝1.①求实数a，b的值；②若点P(x0，y0)在直线l上，且A＝，求点P的坐标．解：(1)本小题主要考查矩阵、矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．①设直线l：ax＋y＝1上任意点M(x，y)在矩A对应的变换作用下的像是M′(x′，y′)．由＝＝，得又点M′(x′，y′)在l′上，所以x′＋by′＝1，即x＋(b＋2)y＝1，依题意得解得②由A＝，得解得y0＝0.又点P(x0，y0)在直线l上，所以x0＝1.故点P的坐标为(1,0)．3．•（江苏高考）已知矩阵A的逆矩阵A－1＝，求矩阵A的特征值．解：因为A－1A＝E，所以A＝(A－1)－1.因为A－1＝，所以A＝(A－1)－1＝，于是矩阵A的特征多项式为f(λ)＝＝λ2－3λ－4.令f(λ)＝0，解得A的特征值λ1＝－1，λ2＝4.4．•（福建高考理）设曲线2x2＋2xy＋y2＝1在矩阵A＝(a＞0)对应的变换作用下得到的曲线为x2＋y2＝1.(1)求实数a，b的值；(2)求A2的逆矩阵．解：(1)设曲线2x2＋2xy＋y2＝1上任意点P(x，y)在矩阵A对应的变换作用下的象是P′(x′，y′)．由＝＝，得又点P′(x′，y′)在曲线x2＋y2＝1上，所以x′2＋y′2＝1，即a2x2＋(bx＋y)2＝1，整理得(a2＋b2)x2＋2bxy＋y2＝1.依题意得解得或因为a>0，所以(2)由(1)知，A＝，A2＝＝，所以|A2|＝1，(A2)－1＝.5．•（福建高考理）设矩阵M＝(其中a＞0，b＞0)．(Ⅰ)若a＝2，b＝3，求矩阵M的逆矩阵M－1；(Ⅱ)若曲线C：x2＋y2＝1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C′：＋y2＝1，求a，b的值．解：(Ⅰ)设矩阵M的逆矩阵M－1＝，则MM－1＝.又M，所以＝，所以2x1＝1,2y1＝0,3x2＝0,3y2＝1，即x1＝，y1＝0，x2＝0，y2＝，故所求的逆矩阵M－1＝.(Ⅱ)设曲线C上任意一点P(x，y)，它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点P′(x′，y′)，则＝，即又点P′(x′，y′)在曲线C′上，所以＋y′2＝1，则＋b2y2＝1为曲线C的方程．又已知曲线C的方程为x2＋y2＝1，故又a＞0，b＞0，所以6．•（江苏高考）已知矩阵A＝，向量β＝.求向量α，使得A2α＝β.解：A2＝＝.设α＝.由A2α＝β，得＝，从而解得x＝－1，y＝2，所以α＝.
