第三讲函数与不等式问题【考点透视】1．了解映射的概念，理解函数的概念．2．了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性和奇偶性的方法，并能利用函数的性质简化函数图象的绘制过程．3．了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数．4．理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质．5．理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质．6．能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题．7．在熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式的解法基础上，掌握其它的一些简单不等式的解法．通过不等式解法的复习，提高学生分析问题、解决问题的能力以及计算能力．8．掌握解不等式的基本思路，即将分式不等式、绝对值不等式等不等式，化归为整式不等式(组)，会用分类、换元、数形结合的方法解不等式．9．通过复习不等式的性质及常用的证明方法(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等)，使学生较灵活的运用常规方法(即通性通法)证明不等式的有关问题．10．通过证明不等式的过程，培养自觉运用数形结合、函数等基本数学思想方法证明不等式的能力．11．能较灵活的应用不等式的基本知识、基本方法，解决有关不等式的问题．12．通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高分析问题解决问题的能力．在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中，提高学生数学素质及创新意识．【例题解析】1.函数的定义域及其求法函数的定义域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.这里主要帮助考生灵活掌握求定义域的各种方法，并会应用用函数的定义域解决有关问题.例1．已知函数1()1fxx的定义域为M，g(x)=ln(1)x的定义域为N，则M∩N=（A）{|1}xx（B）{|1}xx（C）{|11}xx（D）命题意图:本题主要考查含有分式、无理式和对数的函数的定义域的求法.解：函数1()1fxx的定义域M=1,xxg(x)=ln(1)x的定义域N=1,xx∴M∩N={|11}xx．故选C例2.函数2log2yx的定义域是()（A）(3,+∞)（B）[3,+∞)（C）(4,+∞)（D）[4,+∞)命题意图:本题主要考查含有无理式和对数的函数的定义域的求法.解：由204.log20xxx，故选D.2.求函数的反函数求函数的反函数,有助与培养人的逆向思维能力和深化对函数的定义域、值域,以及函数概念的理解.例3．函数22,0,0xxyxx的反函数是（）（A）,02,0xxyxx（B）2,0,0xxyxx（C）,02,0xxyxx（D）2,0,0xxyxx命题意图:本题主要考查有关分段函数的反函数的求法.121:2,.(),(0);22,0,(),0.,02,0.yxyxxfxxyxyfxxxxxyxx解又故选C.例4．已知函数2yxa的反函数是3ybx，则a；b．命题意图:本题主要考查反函数的求法及待定系数法等知识.解：11112,,.2222yxaxyayxaxa与3ybx比较得a6，1.2b故填162；3.复合函数问题复合函数问题,是新课程、新高考的重点.此类题目往往分为两类:一是结合函数解析式的求法来求复合函数的值.二是应用已知函数定义域求复合函数的定义域.例5．对于函数①()2fxx，②2()(2)fxx，③()cos(2)fxx，判断如下两个命题的真假：命题甲：(2)fx是偶函数；命题乙：()fx在()，上是减函数，在(2)，上是增函数；能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是（）Ａ．①②Ｂ．①③Ｃ．②Ｄ．③命题意图:本题主要考查利用复合函数和函数单调性等知识解决问题的能力.解：22()(2),(2)fxxfxx是偶函数，又函数2()(2)fxx开口向上且在()，上是减函数，在(2)，上是增函数．故能使命题甲、乙均为真的函数仅有2()(2)fxx．故选Ｃ例6．函数fx对于任意实数x满足条件12fxfx，若15,f则5ff__________....
