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高考数一轮复习 4.3 平面向量的数量积及平面向量的应用限时集训 理VIP免费

高考数一轮复习 4.3 平面向量的数量积及平面向量的应用限时集训 理_第1页
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限时集训(二十五)平面向量的数量积及平面向量的应用(限时:50分钟满分:106分)一、选择题(本大题共8个小题,每小题5分,共40分)1.(·重庆高考)设x∈R,向量a=(x,1),b=(1,-2),且a⊥b,则|a+b|=()A.B.C.2D.102.(·湖北高考)若向量a=(1,2),b=(1,-1),则2a+b与a-b的夹角等于()A.-B.C.D.3.(·金华模拟)在△ABC中,AB=4,∠ABC=30°,D是边BC上的一点,且·=·,则·的值等于()A.0B.4C.8D.-44.如图,在△ABC中,AD⊥AB,=,||=1,则·=()A.2B.C.D.5.(·郑州模拟)△ABC的外接圆圆心为O,半径为2,++=0,且||=||,则在方向上的投影为()A.1B.2C.D.36.已知圆O的半径为1,PA、PB为该圆的两条切线,A、B为两切点,那么·的最小值为()A.-4+B.-3+C.-4+2D.-3+27.已知|a|=2|b|≠0,且关于x的函数f(x)=x3+|a|x2+a·bx在R上有极值,则a与b的夹角范围为()A.B.C.D.8.(·义乌模拟)平面向量的集合A到A的映射f由f(x)=x-2(x·a)a确定,其中a为常向量.若映射f满足f(x)·f(y)=x·y对x,y∈A恒成立,则a的坐标不可能是()A.(0,0)B.C.D.二、填空题(本大题共6个小题,每小题4分,共24分)9.已知a与b为两个不共线的单位向量,k为实数,若向量a+b与向量ka-b垂直,则k=________.10.已知两个单位向量e1,e2的夹角为,若向量b1=e1-2e2,b2=3e1+4e2,则b1·b2=________.11.(·北京高考)已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则·的值为______;·的最大值为________.12.(·湖南高考)如图,在平行四边形ABCD中,AP⊥BD,垂足为P,且AP=3,则·=________.13.如图,△ABC的外接圆的圆心为O,AB=2,AC=3,则·等于________.14.已知平面向量α、β(α≠β)满足|α|=2,且α与β-α的夹角为120°,t∈R,则|(1-t)α+tβ|的取值范围为________.三、解答题(本大题共3个小题,每小题14分,共42分)15.已知a=(1,2),b=(1,1),且a与a+λb的夹角为锐角,求实数λ的取值范围.16.已知△ABC为锐角三角形,向量m=(3cos2A,sinA),n=(1,-sinA),且m⊥n.(1)求A的大小;(2)当=pm,=qn(p>0,q>0),且满足p+q=6时,求△ABC面积的最大值.17.已知向量a=(1,2),b=(cosα,sinα).设m=a+tb(t为实数).(1)若α=,求当|m|取最小值时实数t的值;(2)若a⊥b,问:是否存在实数t,使得向量a-b和向量m的夹角为,若存在,请求出t;若不存在,请说明理由.答案[限时集训(二十五)]1.B2.C3.B4.D5.C6.D7.C8.B9.解析:∵a+b与ka-b垂直,∴(a+b)·(ka-b)=0,化简得(k-1)(a·b+1)=0,根据a、b向量不共线,且均为单位向量得a·b+1≠0,得k-1=0,即k=1.答案:110.解析:由题意知|e1|=|e2|=1,且e1·e2=,所以b1·b2=(e1-2e2)(3e1+4e2)=3e-2e1·e2-8e=3-2×-8=-6.答案:-611.解析:法一:以·)为基向量,设=λ(0≤λ≤1),则=-=λ-·=-所以·=(λ-)·()=-λ·+2=-λ×0+1=1.又=,所以·=(λ-)·=λ2-·=λ×1-0=λ≤1,即·的最大值为1.法二:建立如图所示的平面直角坐标系,令E点坐标为t,00≤t≤1可得·=t,-1·0,-1=1,·=t,-1·1,0=t≤1,,故·=1,·最大值为1.答案:1112.解析:设AC与BD的交点为O,则·=·2=22+2·=2×32+0=18.答案:1813.解析:·=·(-)=·-·.因为OA=OB,所以在方向上的投影为||,所以·=·||·||=2,同理·=||·||=,故·=-2=.答案:14.解析:|(1-t)α+tβ|=+|α+t(β-α)|==≥.所以|(1-t)α+tβ|的取值范围是[∞,+).答案:[∞,+)15.解:∵a与a+λb均为非零向量,且夹角为锐角,∴a·(a+λb)>0,即(1,2)·(1+λ,2+λ)>0.∴(1+λ)+2(2+λ)>0.∴λ>-.当a与a+λb共线时,存在实数m,使a+λb=ma,即(1+λ,2+λ)=m(1,2),∴解得λ=0.即当λ=0时,a与a+λb共线,综上可知,λ>-且λ≠0.16.解:(1)∵m⊥n,∴3cos2A-sin2A=0.∴3cos2A-1+cos2A=0,∴cos2A=.又∵△ABC为锐角三角形,∴cosA=,∴A=.(2)由(1)可得m=,n=.∴||=p,||=q.∴S△ABC=||·||·sinA=pq.又∵p+q=6,且p>0,q>0,∴·≤,∴·≤3.∴p·q≤9.∴△ABC面积的最大值为×9=.17.解:(1)因为α=,所以b=,a·b=,则|m|====,所以当t=-时,|m|取到最小值,最小值为.(2)存在满足题意的实数t,由条件得cos=,又因为|a-b|==,|a+tb|==,(a-b)·(a+tb)=5-t,则有=,且t<5,整理得t2+5t-5=0,所以存在t=满足条件.

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