限时集训(二十五)平面向量的数量积及平面向量的应用(限时：50分钟满分：106分)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分)1．(·重庆高考)设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝()A.B.C．2D．102．(·湖北高考)若向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于()A．－B.C.D.3．(·金华模拟)在△ABC中，AB＝4，∠ABC＝30°，D是边BC上的一点，且·＝·，则·的值等于()A．0B．4C．8D．－44．如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝，||＝1，则·＝()A．2B.C.D.5．(·郑州模拟)△ABC的外接圆圆心为O，半径为2，＋＋＝0，且||＝||，则在方向上的投影为()A．1B．2C.D．36．已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么·的最小值为()A．－4＋B．－3＋C．－4＋2D．－3＋27．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的函数f(x)＝x3＋|a|x2＋a·bx在R上有极值，则a与b的夹角范围为()A.B.C.D.8．(·义乌模拟)平面向量的集合A到A的映射f由f(x)＝x－2(x·a)a确定，其中a为常向量．若映射f满足f(x)·f(y)＝x·y对x，y∈A恒成立，则a的坐标不可能是()A．(0,0)B.C.D.二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)9．已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝________.10．已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________.11．(·北京高考)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为______；·的最大值为________．12．(·湖南高考)如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则·＝________.13．如图，△ABC的外接圆的圆心为O，AB＝2，AC＝3，则·等于________．14．已知平面向量α、β(α≠β)满足|α|＝2，且α与β－α的夹角为120°，t∈R，则|(1－t)α＋tβ|的取值范围为________．三、解答题(本大题共3个小题，每小题14分，共42分)15．已知a＝(1,2)，b＝(1,1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．16．已知△ABC为锐角三角形，向量m＝(3cos2A，sinA)，n＝(1，－sinA)，且m⊥n.(1)求A的大小；(2)当＝pm，＝qn(p>0，q>0)，且满足p＋q＝6时，求△ABC面积的最大值．17．已知向量a＝(1,2)，b＝(cosα，sinα)．设m＝a＋tb(t为实数)．(1)若α＝，求当|m|取最小值时实数t的值；(2)若a⊥b，问：是否存在实数t，使得向量a－b和向量m的夹角为，若存在，请求出t；若不存在，请说明理由．答案[限时集训(二十五)]1．B2.C3.B4.D5.C6.D7.C8.B9．解析：∵a＋b与ka－b垂直，∴(a＋b)·(ka－b)＝0，化简得(k－1)(a·b＋1)＝0，根据a、b向量不共线，且均为单位向量得a·b＋1≠0，得k－1＝0，即k＝1.答案：110．解析：由题意知|e1|＝|e2|＝1，且e1·e2＝，所以b1·b2＝(e1－2e2)(3e1＋4e2)＝3e－2e1·e2－8e＝3－2×－8＝－6.答案：－611．解析：法一：以·)为基向量，设＝λ(0≤λ≤1)，则＝－＝λ－·＝－所以·=(λ－)·()＝－λ·＋2=－λ×0＋1＝1.又＝,所以·=(λ－)·＝λ2－·＝λ×1－0＝λ≤1，即·的最大值为1.法二：建立如图所示的平面直角坐标系，令E点坐标为t，00≤t≤1可得·＝t，－1·0，－1＝1，·＝t，－1·1，0＝t≤1，,故·＝1,·最大值为1.答案：1112．解析：设AC与BD的交点为O，则·＝·2＝22＋2·＝2×32＋0＝18.答案：1813．解析：·＝·(－)＝·－·.因为OA＝OB，所以在方向上的投影为||，所以·＝·||·||＝2，同理·＝||·||＝，故·＝－2＝.答案：14．解析：|(1－t)α＋tβ|＝＋|α＋t(β－α)|＝＝≥.所以|(1－t)α＋tβ|的取值范围是[∞，＋)．答案：[∞，＋)15．解：∵a与a＋λb均为非零向量，且夹角为锐角，∴a·(a＋λb)>0，即(1,2)·(1＋λ，2＋λ)>0.∴(1＋λ)＋2(2＋λ)>0.∴λ>－.当a与a＋λb共线时，存在实数m，使a＋λb＝ma，即(1＋λ，2＋λ)＝m(1,2)，∴解得λ＝0.即当λ＝0时，a与a＋λb共线，综上可知，λ>－且λ≠0.16．解：(1)∵m⊥n，∴3cos2A－sin2A＝0.∴3cos2A－1＋cos2A＝0，∴cos2A＝.又∵△ABC为锐角三角形，∴cosA＝，∴A＝.(2)由(1)可得m＝，n＝.∴||＝p，||＝q.∴S△ABC＝||·||·sinA＝pq.又∵p＋q＝6，且p>0，q>0，∴·≤，∴·≤3.∴p·q≤9.∴△ABC面积的最大值为×9＝.17．解：(1)因为α＝，所以b＝，a·b＝，则|m|＝＝＝＝，所以当t＝－时，|m|取到最小值，最小值为.(2)存在满足题意的实数t，由条件得cos＝，又因为|a－b|＝＝，|a＋tb|＝＝，(a－b)·(a＋tb)＝5－t，则有＝，且t<5，整理得t2＋5t－5＝0，所以存在t＝满足条件．
