限时集训(四十四)空间向量的运算及空间位置关系(限时：50分钟满分：106分)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分)1．(·合肥模拟)已知点A(－3,0，－4)，点A关于原点的对称点为B，则|AB|等于()A．12B．9C．25D．102．以棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，AD，AA1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则正方形AA1B1B的对角线交点的坐标为()A.B.C.D.3．已知向量a＝(2，－3,5)与向量b＝平行，则λ＝()A.B.C．－D．－4．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值为()A．1B.C.D.5．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a、b、c三个向量共面，则实数λ等于()A.B.C.D.6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin〈，〉的值为()A.B.C.D.7．如图，在底面为平行四边形的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，M是AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与B1M―→相等的向量是()A．－a＋b＋cB.a＋b＋cC.a－b＋cD．－a－b＋c8.(·武汉模拟)二面角α－l－β为60°，A、B是棱l上的两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝a，BD＝2a，则CD的长为()A．2aB.aC．aD.a二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)9．已知点B是点A(3,7，－4)在xOz平面上的射影，则|OB|等于________．10．已知点P在z轴上，且满足|OP|＝1(O为坐标原点)，则点P到点A(1,1,1)的距离为________．11．已知空间三点A(1,1,1)，B(－1,0,4)，C(2，－2,3)，则AB―→与CA―→的夹角θ的大小是________．12．已知O(0,0,0)，A(1,2,3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，当QA―→·QB―→取最小值时，点Q的坐标是________．13．(·宝鸡模拟)已知a＝(cosθ，1，sinθ)，b＝(sinθ，1，cosθ)，则向量a＋b与a－b的夹角是________．14．如图，BC＝4，原点O是BC的中点，点A，点D在平面yOz上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，则AD的长度为________．三、解答题(本大题共3个小题，每小题14分，共42分)15．已知向量a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，点A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)．(1)求|2a＋b|；(2)在直线AB上，是否存在一定点E，使得⊥b？(O为原点)16．(·合肥模拟)如图ABCD－A1B1C1D1是正方体，M、N分别是线段AD1和BD的中点．(1)证明：直线MN∥平面B1CD1；(2)设正方体ABCD－A1B1C1D1棱长为a，若以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，试写出B1、M两点的坐标，并求线段B1M的长．17．如图，在棱长为a的正方体OABC－O1A1B1C1中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤a，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.(1)写出点E、F的坐标；(2)求证：A1F⊥C1E；(3)若A1、E、F、C1四点共面，求证：＝＋.答案[限时集训(四十四)]1．D2.B3.C4.D5.D6.B7.A8．A9．510.或11.π12.13.90°14.15．解：(1)2a＋b＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，故|2a＋b|＝＝5.(2)＝＋＝＋t＝(－3，－1,4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t,4－2t)，若⊥b，则·b＝0，所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t＝，因此存在点E，使得⊥b，此时E点坐标为.16．解：(1)连接CD1、AC，则N是AC的中点，在△ACD1中，又M是AD1的中点，∴MN∥CD1.又MN⊄平面B1CD1，CD1⊂平面B1CD1，∴MN∥平面B1CD1.(2)由条件知B1(a，a，a)，M，∴|B1M|＝＝a，即线段B1M的长为a.17．解：(1)E(a，x,0)，F(a－x，a,0)．(2)证明：∵A1(a,0，a)、C1(0，a，a)，∴＝(－x，a，－a)，＝(a，x－a，－a)，∴·＝－ax＋a(x－a)＋a2＝0，∴⊥，∴A1F⊥C1E.(3)∵A1、E、F、C1四点共面，∴、、共面．选与为一组基向量，则存在惟一实数对(λ1，λ2)，使＝λ1＋λ2，即(－x，a，－a)＝λ1(－a，a,0)＋λ2(0，x，－a)＝(－aλ1，aλ1＋xλ2，－aλ2)，∴解得λ1＝，λ2＝1.于是＝＋.
