限时集训(五十七)二项式定理(限时：50分钟满分：106分)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分)1.6的展开式中x2的系数为()A．－240B．240C．－60D．602．(·杭州模拟)若a为实数，且5的展开式中x3的系数为，则a＝()A.B.C．2D．43．若二项式n的展开式中各项系数的和是512，则展开式中的常数项为()A．－27CB．27CC．－9CD．9C4．已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2…＋＋a7x7，那么a1＋a2＋a3…＋＋a7＝()A．2B．－2C．1D．－15．在(x＋1)(2x＋1)…(nx＋1)(n∈N*)的展开式中一次项系数为()A．CB．CC．CD.C6．(·贵阳模拟)在二项式(x2＋x＋1)(x－1)5的展开式中，含x4项的系数是()A．－25B．－5C．5D．257．(·重庆高考)8的展开式中常数项为()A.B.C.D．1058．(·湖北高考)设a∈Z，且0≤a＜13，若512012＋a能被13整除，则a＝()A．0B．1C．11D．12二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)9．(·陕西高考)(a＋x)5展开式中x2的系数为10，则实数a的值为________．10．已知二项式n展开式中的第5项为常数项，则展开式中各项的二项式系数之和为________．11．若n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为________．12．(·浙江高考)若将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2…＋＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2…，，a5为实数，则a3＝________.13．若(1＋2x)n的展开式中含x3项的系数等于含x项的系数的8倍，则n＝________.14．若(＋2x)2012＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x2…＋＋a2012x2012，则(a0＋a2＋a4…＋＋a2012)2－(a1＋a5…＋＋a2011)2的值为________．三、解答题(本大题共3个小题，每小题14分，共42分)15．若n的展开式中各项系数和为1024，试确定展开式中含x的整数次幂的项．16．已知n(n∈N*)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1.(1)求展开式中各项系数的和；(2)求展开式中含x的项；17．(·苏锡常镇调研)从函数角度看，组合数C可看成是以r为自变量的函数f(r)，其定义域是.(1)证明：f(r)＝f(r－1)；(2)利用(1)的结论，证明：当n为偶数时，(a＋b)n的展开式中最中间一项的二项式系数最大．答案[限时集训(五十七)]1．B2.B3.B4.B5.B6.B7.B8.D9．解析：由二项展开式的通项公式可得，T3＝Ca3x2＝10x2，解得a＝1.答案：110．解析：依题意知，二项式n的展开式中的第5项是T5＝C·xn－4·4＝C·xn－6，又其第5项是常数项，于是有n－6＝0，得n＝6，因此其展开式中各项的二项式系数之和为26＝64.答案：6411．解析：由C＝C可知n＝8，所以8的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cx8－rr＝Cx8－2r,所以8－2r＝－2⇒r＝5，所以的系数为C＝56.答案：5612．解析：不妨设1＋x＝t，则x＝t－1，因此有(t－1)5＝a0＋a1t＋a2t2＋a3t3＋a4t4＋a5t5，则a3＝C(－1)2＝10.答案：1013．解析：依题意得，二项式(1＋2x)n的展开式的通项是Tr＋1＝C×1n－r×(2x)r＝C×2r×xr，于是有23C＝8×2C，即C＝2C，n(n－1)(n－2)＝12n，即(n－1)(n－2)＝12，又n≥3，于是有n＝5.答案：514．解析：令f(x)＝(＋2x)2012，则a0＋a1…＋＋a2012＝f(1)，a0－a1＋a2…－＋a2012＝f(－1)．故(a0＋a2＋a4…＋＋a2012)2－(a1＋a3＋a5…＋＋a2011)2＝[(a0＋a2＋a4…＋＋a2012)＋(a1＋a3＋a5…＋＋a2011)]·[(a0＋a2＋a4…＋＋a2012)－(a1＋a3＋a5…＋＋a2011)]＝f(1)×f(－1)＝(＋2)2012×(－2)2012＝[(＋2)×(－2)]2012＝(－1)2012＝1.答案：115．解：令x＝1，则22n＝1024，解得n＝5.Tr＋1＝C(3x)5－rr＝C·35－r·x，含x的整数次幂即使为整数，r＝0、r＝2、r＝4，有3项，即T1＝243x5，T3＝270x2，T5＝15x－1.16．解：由题意知，第五项系数为C·(－2)4，第三项的系数为C·(－2)2，则有＝，化简得n2－5n－24＝0，解得n＝8或n＝－3(舍去)．(1)令x＝1得各项系数的和为(1－2)8＝1.(2)通项公式Tk＋1＝C·()8－k·k＝C·(－2)k·x－2k，令－2k＝，则k＝1，故展开式中含x的项为T2＝－16x.17．证明：(1)∵f(r)＝C＝，f(r－1)＝C＝，∴f(r－1)＝·＝.则f(r)＝f(r－1)成立．(2)设n＝2k，∵f(r)＝f(r－1)，f(r－1)>0，∴＝.令f(r)≥f(r－1)≥，则1，则r≤k＋(等号不成立)．∴当r＝1,2…，，k时，f(r)>f(r－1)成立．反之，当r＝k＋1，k＋2…，，2k时，f(r)
