限时集训(五十七)二项式定理(限时:50分钟满分:106分)一、选择题(本大题共8个小题,每小题5分,共40分)1.6的展开式中x2的系数为()A.-240B.240C.-60D.602.(·杭州模拟)若a为实数,且5的展开式中x3的系数为,则a=()A.B.C.2D.43.若二项式n的展开式中各项系数的和是512,则展开式中的常数项为()A.-27CB.27CC.-9CD.9C4.已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2…++a7x7,那么a1+a2+a3…++a7=()A.2B.-2C.1D.-15.在(x+1)(2x+1)…(nx+1)(n∈N*)的展开式中一次项系数为()A.CB.CC.CD.C6.(·贵阳模拟)在二项式(x2+x+1)(x-1)5的展开式中,含x4项的系数是()A.-25B.-5C.5D.257.(·重庆高考)8的展开式中常数项为()A.B.C.D.1058.(·湖北高考)设a∈Z,且0≤a<13,若512012+a能被13整除,则a=()A.0B.1C.11D.12二、填空题(本大题共6个小题,每小题4分,共24分)9.(·陕西高考)(a+x)5展开式中x2的系数为10,则实数a的值为________.10.已知二项式n展开式中的第5项为常数项,则展开式中各项的二项式系数之和为________.11.若n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中的系数为________.12.(·浙江高考)若将函数f(x)=x5表示为f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2…++a5(1+x)5,其中a0,a1,a2…,,a5为实数,则a3=________.13.若(1+2x)n的展开式中含x3项的系数等于含x项的系数的8倍,则n=________.14.若(+2x)2012=a0+a1x+a2x2+a3x2…++a2012x2012,则(a0+a2+a4…++a2012)2-(a1+a5…++a2011)2的值为________.三、解答题(本大题共3个小题,每小题14分,共42分)15.若n的展开式中各项系数和为1024,试确定展开式中含x的整数次幂的项.16.已知n(n∈N*)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1.(1)求展开式中各项系数的和;(2)求展开式中含x的项;17.(·苏锡常镇调研)从函数角度看,组合数C可看成是以r为自变量的函数f(r),其定义域是.(1)证明:f(r)=f(r-1);(2)利用(1)的结论,证明:当n为偶数时,(a+b)n的展开式中最中间一项的二项式系数最大.答案[限时集训(五十七)]1.B2.B3.B4.B5.B6.B7.B8.D9.解析:由二项展开式的通项公式可得,T3=Ca3x2=10x2,解得a=1.答案:110.解析:依题意知,二项式n的展开式中的第5项是T5=C·xn-4·4=C·xn-6,又其第5项是常数项,于是有n-6=0,得n=6,因此其展开式中各项的二项式系数之和为26=64.答案:6411.解析:由C=C可知n=8,所以8的展开式的通项公式为Tr+1=Cx8-rr=Cx8-2r,所以8-2r=-2⇒r=5,所以的系数为C=56.答案:5612.解析:不妨设1+x=t,则x=t-1,因此有(t-1)5=a0+a1t+a2t2+a3t3+a4t4+a5t5,则a3=C(-1)2=10.答案:1013.解析:依题意得,二项式(1+2x)n的展开式的通项是Tr+1=C×1n-r×(2x)r=C×2r×xr,于是有23C=8×2C,即C=2C,n(n-1)(n-2)=12n,即(n-1)(n-2)=12,又n≥3,于是有n=5.答案:514.解析:令f(x)=(+2x)2012,则a0+a1…++a2012=f(1),a0-a1+a2…-+a2012=f(-1).故(a0+a2+a4…++a2012)2-(a1+a3+a5…++a2011)2=[(a0+a2+a4…++a2012)+(a1+a3+a5…++a2011)]·[(a0+a2+a4…++a2012)-(a1+a3+a5…++a2011)]=f(1)×f(-1)=(+2)2012×(-2)2012=[(+2)×(-2)]2012=(-1)2012=1.答案:115.解:令x=1,则22n=1024,解得n=5.Tr+1=C(3x)5-rr=C·35-r·x,含x的整数次幂即使为整数,r=0、r=2、r=4,有3项,即T1=243x5,T3=270x2,T5=15x-1.16.解:由题意知,第五项系数为C·(-2)4,第三项的系数为C·(-2)2,则有=,化简得n2-5n-24=0,解得n=8或n=-3(舍去).(1)令x=1得各项系数的和为(1-2)8=1.(2)通项公式Tk+1=C·()8-k·k=C·(-2)k·x-2k,令-2k=,则k=1,故展开式中含x的项为T2=-16x.17.证明:(1)∵f(r)=C=,f(r-1)=C=,∴f(r-1)=·=.则f(r)=f(r-1)成立.(2)设n=2k,∵f(r)=f(r-1),f(r-1)>0,∴=.令f(r)≥f(r-1)≥,则1,则r≤k+(等号不成立).∴当r=1,2…,,k时,f(r)>f(r-1)成立.反之,当r=k+1,k+2…,,2k时,f(r)