第七节抛物线考点一抛物线的定义及应用[例1]设P是抛物线y2＝4x上的一个动点．(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；(2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．[自主解答](1)如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1.由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到焦点F的距离．于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A(－1，1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小．显然，连接AF交曲线于点P，则所求的最小值为|AF|，即为.(2)如图，过点B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.即|PB|＋|PF|的最小值为4.【互动探究】若将本例(2)中的B点坐标改为(3,4)，求|PB|＋|PF|的最小值．解：由题意可知点(3,4)在抛物线的外部． |PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离．∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝＝＝2.即|PB|＋|PF|的最小值为2.【方法规律】抛物线定义“”中的转化法利用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线“”距离的等价转化．看到准线想到焦点，看到焦点想到准线，这是解决抛物线焦点弦有关问题的有效途径．1．(·天津模拟)已知动圆过定点F，且与直线x＝－相切，其中p>0，则动圆圆心的轨迹E的方程为____________．解析：依题意得，圆心到定点F的距离与到直线x＝－的距离相等，再依抛物线的定义知，动圆圆心的轨迹E为抛物线，其方程为y2＝2px.答案：y2＝2px2．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，若|AF|＝3，则|BF|＝________.解析：因为抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)．显然，当AB垂直于x轴时，|AF|≠3，所以AB的斜率k存在，设AB的方程为y＝k(x－1)，与抛物线y2＝4x联立，消去y得k2x2－2k2x－4x＋k2＝0，即k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由根与系数的关系得x1＋x2＝＝2＋.又|AF|＝3＝x1＋＝x1＋1，所以x1＝2，代入k2x2－2k2x－4x＋k2＝0，得k2＝8，所以x1＋x2＝，x2＝，故|BF|＝x2＋1＝＋1＝.答案：考点二抛物线的标准方程及性质[例2](1)(·四川高考)抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是()A.B.C．1D.(2)(·江西高考)抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.[自主解答](1)由抛物线y2＝4x，有2p＝4，p＝2.其焦点坐标为(1,0)，双曲线x2－＝1的渐近线方程为y＝±x.不妨取其中一条x－y＝0.由点到直线的距离公式有d＝＝.(2)在等边三角形ABF中，AB边上的高为p，＝p，所以B.又因为点B在双曲线上，故－＝1，解得p＝6.答案：(1)B(2)6【方法规律】1．求抛物线的标准方程的方法及流程(1)方法：求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可．(2)流程：因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．2．确定及应用抛物线性质的关键与技巧(1)关键：利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程．(2)技巧：要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解．1．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|＝()A．2B．2C．4D．2解析：选B依题意，设抛物线方程是y2＝2px(p>0)，则有2＋＝3，得p＝2，故抛物线方程是y2＝4x，点M的坐标是(2，±2)，|OM|＝＝2.2．(·湖州模拟)已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为()A．x2＝yB．x2＝yC．x2＝8yD．x2＝16y解析：选D双曲线的渐近线方程为y＝±x，由于＝＝＝2，所以＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.抛物线的焦点坐标为，所以＝2，则p＝8，所以抛物线方程为x2＝16y.高频考点考点三直线与抛物线的位置关系1．直线与抛物线的位置关系，是高考命题的热点，多以解答题的形式出现，试题难度较大，多为中、高档题．2．直线与抛物线的位置关系有以下几个命题角度：(1)已知抛物线方程及其他条件，求直线方程；(2)证明直线过定点；(3)求线段长度或线段之积(和)的最值；(4)求定值...
