高考数一轮复习第二章第八节函数与方程突破热点题型文VIP免费

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2024-09-29 发布于山西
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考点一确定函数零点所在区间[例1](1)(·西安模拟)函数f(x)＝＋ln的零点所在的大致区间是()A．(1,2)B．(2,3)C．(3,4)D．(1,2)与(2,3)(2)(·重庆高考)若a0，所以f(x)>0，故函数f(x)在(1,2)上没有零点．f(2)＝1－ln1＝1，f(3)＝－ln2＝＝，＝2≈2.828>e，∴8>e2，即ln8>2，即f(3)<0，又f(4)＝－ln3<0，∴f(x)在(2,3)内存在一个零点．(2)易知f(a)＝(a－b)(a－c)，f(b)＝(b－c)(b－a)，f(c)＝(c－a)(c－b)．又a0，f(b)<0，f(c)>0，又该函数是二次函数，且开口向上，可知两根分别在(a，b)和(b，c)内．[答案](1)B(2)A【方法规律】判断函数零点所在区间的方法判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理，当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断；当用零点存在性定理也无法判断时可画出图象判断．1．(·嘉兴模拟)方程log3x＋x＝3的根所在的区间为()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)解析：选C法一：方程log3x＋x＝3的根即是函数f(x)＝log3x＋x－3的零点，由于f(2)＝log32＋2－3＝log32－1<0，f(3)＝log33＋3－3＝1>0且函数f(x)在(0∞，＋)上为单调增函数．∴函数f(x)的零点即方程log3x＋x＝3的根所在区间为(2,3)．法二：方程log3x＋x＝3的根所在区间即是函数y1＝log3x与y2＝3－x交点横坐标所在区间，两函数图象如图所示．由图知方程log3x＋x＝3的根所在区间为(2,3)．2．在下列区间中，函数f(x)＝e－x－4x－3的零点所在的区间为()A.B.C.D.解析：选B易知函数f(x)在R上是单调减函数．对于A，注意到f＝e－4×－3＝e>0，f＝e－4×－3＝e－1>0，因此函数f(x)＝e－x－4x－3的零点不在区间上；对于B，注意到f>0，f＝e－4×－3＝e－2<4－2<0，因此在区间上函数f(x)＝e－x－4x－3一定存在零点；对于C，注意到f<0，f(0)＝－2<0，因此函数f(x)＝e－x－4x－3的零点不在区间上；对于D，注意到f(0)＝－2<0，f＝e－－4×－3＝e－－4<0，因此函数f(x)＝e－x－4x－3的零点不在区间上．考点二判断函数零点的个数[例2](1)(·郑州模拟)函数f(x)＝x2－2x在x∈R上的零点的个数是()A．0B．1C．2D．3(2)已知函数f(x)＝则函数y＝f(f(x))＋1的零点个数是()A．4B．3C．2D．1[自主解答](1)注意到f(－1)×f(0)＝×(－1)<0，因此函数f(x)在(－1,0)上必有零点．又f(2)＝f(4)＝0，因此函数f(x)的零点个数是3.(2)由f(f(x))＋1＝0可得f(f(x))＝－1.又由f(－2)＝f＝－1，可得f(x)＝－2或f(x)＝.若f(x)＝－2，则x＝－3或x＝；若f(x)＝，则x＝－或x＝，综上可得函数y＝f(f(x))＋1有4个零点．[答案](1)D(2)A【互动探究】若将本例(1)“中的函数改为f(x)＝x－x”，该如何选择？解析：选B因为y＝x在x∈[0∞，＋)上单调递增，y＝x在x∈R上单调递减，所以f(x)＝x－x在x∈[0∞，＋)上单调递增．又f(0)＝－1<0，f(1)＝>0，所以f(x)＝x－x在定义域内有唯一零点，故应选B.【方法规律】判断函数零点个数的方法(1)解方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质；(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．1．(·天津高考)函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为()A．1B．2C．3D．4解析：选B易知函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数⇔方程|log0.5x|＝＝x的根的个数⇔函数y1＝|log0.5x|与y2＝x的图象的交点个数．作出两个函数的图象如图所示，由图可知两个函数图象有两个交点．2．已知符号函数sgn(x)＝则函数f(x)＝sgn(x－1)－lnx的零点个数为()A．1B．2C．3D．4解析：选C依题意得，...

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