第三节导数的应用(二)考点一利用导数解决生活中的优化问题[例1](·重庆高考)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率)．(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．[自主解答](1)因为蓄水池侧面的总成本为100×2πrh＝200πrh元，底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．又根据题意得200πrh＋160πr2＝12000π，所以h＝(300－4r2)，从而V(r)＝πr2h＝(300r－4r3)．由h>0，且r>0可得00，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r∈(5,5)时，V′(r)<0，故V(r)在(5,5)上为减函数．由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8，即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．【方法规律】利用导数解决生活中优化问题的方法求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，然后利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合．某工厂每天生产某种产品最多不超过40件，产品的正品率P与日产量x(x∈N*)件之间的关系为P＝，每生产一件正品盈利4000元，每出现一件次品亏损2000元．(注：正品率＝产品中的正品件数÷产品总件数×100%)(1)将日利润y(元)表示成日产量x(件)的函数；(2)该厂的日产量为多少件时，日利润最大？并求出日利润的最大值．解：(1) y＝4000··x－2000··x＝3600x－x3，∴所求的函数关系式是y＝－x3＋3600x(x∈N*,1≤x≤40)．(2)由(1)知y′＝3600－4x2.令y′＝0，解得x＝30.∴当1≤x<30时，y′>0；当30－时，f′(x)<0；当00.所以f(x)的单调递减区间为(∞－，0]，；单调递增区间为.②若a＝－，则f′(x)＝－x2ex≤0，所以f(x)的单调递减区间为(∞∞－，＋)．③若a<－，当x<－或x>0时，f′(x)<0；当－0.所以f(x)的单调递减区间为，[0∞，＋)；单调递增区间为.(3)a＝－1时，f(x)＝(－x2＋x－1)ex，由(2)知，f(x)＝(－x2＋x－1)ex在(∞－，－1]上单调递减，在[－1,0]上单调递增，在[0∞，＋)上单调递减．所以f(x)在x＝－1处取得极小值f(－1)＝－，在x＝0处取得极大值f(0)＝－1.由g(x)＝x3＋x2＋m，得g′(x)＝x2＋x.当x<－1或x>0时，g′(x)>0；当－1
