第三节二项式定理高频考点考点一求二项展开式中的特定项或特定项的系数1．二项式定理是高中数学中的一个重要知识点，也是高考命题的热点，多以选择、填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题．2．高考对二项式定理的考查主要有以下几个命题角度：(1)求二项展开式中的第n项；(2)求二项展开式中的特定项；(3)已知二项展开式的某项，求特定项的系数．[例1](1)(·江西高考)5展开式中的常数项为()A．80B．－80C．40D．－40(2)(·辽宁高考)使n(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为()A．4B．5C．6D．7[自主解答](1)此二项展开式的通项为Tr＋1＝C(x2)5－r(－1)r2rx－3r＝C·(－1)r·2r·x10－5r.因为10－5r＝0，所以r＝2，所以常数项为T3＝C·22＝40.(2)Tr＋1＝C(3x)n－r·x－r＝C·3n－r·xn－r－r＝C·3n－r·xn－(r＝0,1,2…，，n)，若Tr＋1是常数项，则有n－r＝0，即2n＝5r(r＝0,1…，，n)，当r＝0,1时，n＝0，，不满足条件；当r＝2时，n＝5.[答案](1)C(2)B【互动探究】若本例(2)“中的条件n∈N*”“改为n≥3”，其他条件不变，则展开式中的有理项最少有________项．解析：由本例(2)中的自主解答可知：Tr＋1＝C3n－rxn－(r＝0,1,2…，，n)．即当为整数时，Tr＋1为有理项．显然当n＝3时，r的取值最少，有r＝0，r＝2，即有理项为T1、T3两项．答案：2求二项式展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的第n项．可依据二项式的通项公式直接求出第n项．(2)求展开式中的特定项．可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可．(3)已知展开式的某项，求特定项的系数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数．1．若二项式n的展开式中第5项是常数项，则正整数n的值可能为()A．6B．10C．12D．15解析：选CTr＋1＝C()n－rr＝(－2)rCx，当r＝4时，＝0，又n∈N*，所以n＝12.2．(·昆明模拟)(1－)4的展开式中x的系数是________．解析：(1－)4的展开式中x的项为·C10(－)4＋xC14(－)0＝2x＋x＝3x.所以x的系数为3.答案：3考点二二项式系数或各项系数和[例2](1)(·新课标全国卷Ⅰ)设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝()A．5B．6C．7D．8(2)若C＝C(n∈N*)且(3－x)n＝a0＋a1x＋a2x2…＋＋anxn，则a0－a1＋a2…－＋(－1)nan＝________.[自主解答](1)由题意得：a＝C，b＝C，所以13C＝7C，∴＝，∴＝13，解得m＝6，经检验为原方程的解，选B.(2)由C＝C，得3n＋1＝n＋6(无整数解)或3n＋1＝23－(n＋6)，解得n＝4，问题即转化为求(3－x)4的展开式中各项系数和的问题，只需在(3－x)4中令x＝－1即得a0－a1＋a2…－＋(－1)nan＝[3－(－1)]4＝256.[答案](1)B(2)256【方法规律】赋值法的应用(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可．(2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．(3)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2…＋＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4…＋＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5…＋＝.1．设(1＋x)n＝a0＋a1x…＋＋anxn，若a1＋a2…＋＋an＝63，则展开式中系数最大的项是()A．15x3B．20x3C．21x3D．35x3解析：选B在(1＋x)n＝a0＋a1x…＋＋anxn中，令x＝1得2n＝a0＋a1＋a2…＋＋an.令x＝0，得1＝a0，∴a1＋a2…＋＋an＝2n－1＝63，∴n＝6.而(1＋x)6的展开式中系数最大的项为T4＝Cx3＝20x3.2．(·丽水模拟)若(1－2x)2014＝a0＋a1x…＋＋a2013x2013＋a2014x2014(x∈R)…，则＋＋＋＋的值为()A．2B．0C．－1D．－2解析：选C令x＝0，则a0＝1，令x＝，则a0…＋＋＋＋＋＝0，∴…＋＋＋＋＝－1.考点三二项式定理的应用[例3](1)已知2n＋2·3n＋5n－a能被25整除，求正整数a的最小值；(2)求1.028的近似值．(精确到小数点后三位)[自主解答](1) 2n＋2·3n＋5n－a＝4·2n·3n＋5n－a＝4·6n＋5n－a＝4(5＋1)n＋5n－a＝4(C5n＋C5n－1…＋＋C52＋C5＋C)＋5n－a＝4(C5n＋C5n－1…＋＋C52)＋25n＋4－a，显然正整数a的最小值为4.(2)1.0...
