第三节二项式定理[全盘巩固]1．在5的二项展开式中，x的系数为()A．10B．－10C．40D．－40解析：选DTr＋1＝C(2x2)5－rr＝(－1)r·25－r·C·x10－3r，令10－3r＝1，得r＝3.所以x的系数为(－1)3·25－3·C＝－40.2．在(1＋)2－(1＋)4的展开式中，x的系数等于()A．3B．－3C．4D．－4解析：选B因为(1＋)2的展开式中x的系数为1，(1＋)4的展开式中x的系数为C＝4，所以在(1＋)2－(1＋)4的展开式中，x的系数等于－3.3．(·全国高考)(1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是()A．56B．84C．112D．168解析：选D(1＋x)8展开式中x2的系数是C，(1＋y)4的展开式中y2的系数是C，根据多项式乘法法则可得(1＋x)8(1＋y)4展开式中x2y2的系数为CC＝28×6＝168.4.5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为()A．－40B．－20C．20D．40解析：选D由题意，令x＝1得展开式各项系数的和为(1＋a)·(2－1)5＝2，∴a＝1. 二项式5的通项公式为Tr＋1＝C(－1)r·25－r·x5－2r，∴5展开式中的常数项为x·C(－1)322·x－1＋·C·(－1)2·23·x＝－40＋80＝40.5．在(1－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3…＋＋anxn中，若2a2＋an－3＝0，则自然数n的值是()A．7B．8C．9D．10解析：选B易知a2＝C，an－3＝(－1)n－3·C＝(－1)n－3C，又2a2＋an－3＝0，所以2C＋(－1)n－3C＝0，将各选项逐一代入检验可知n＝8满足上式．6．设a∈Z，且0≤a＜13，若512012＋a能被13整除，则a＝()A．0B．1C．11D．12解析：选D512012＋a＝(13×4－1)2012＋a，被13整除余1＋a，结合选项可得a＝12时，512012＋a能被13整除．7．(·杭州模拟)二项式5的展开式中第四项的系数为________．解析：由已知可得第四项的系数为C(－2)3＝－80，注意第四项即r＝3.答案：－808．(·四川高考)二项式(x＋y)5的展开式中，含x2y3的项的系数是________(用数字作答)．解析：由二项式定理得(x＋y)5的展开式中x2y3项为Cx5－3y3＝10x2y3，即x2y3的系数为10.答案：109．(·浙江高考)设二项式5的展开式中常数项为A，则A＝________.解析：因为5的通项Tr＋1＝C()5－r·r＝(－1)rCxx－＝(－1)rCx.令15－5r＝0，得r＝3，所以常数项为(－1)3Cx0＝－10.即A＝－10.答案：－1010．已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2…＋＋a7x7，求：(1)a1＋a2…＋＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)|a0|＋|a1|＋|a2|…＋＋|a7|.解：令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1.①令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.②(1) a0＝C＝1，∴a1＋a2＋a3…＋＋a7＝－2.(2)(①－②)÷2，得a1＋a3＋a5＋a7＝＝－1094.(3)(①＋②)÷2，得a0＋a2＋a4＋a6＝＝1093.(4) (1－2x)7展开式中a0、a2、a4、a6大于零，而a1、a3、a5、a7小于零，∴|a0|＋|a1|＋|a2|…＋＋|a7|＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)＝1093－(－1094)＝2187.11．若某一等差数列的首项为C－A，公差为m的展开式中的常数项，其中m是7777－15除以19的余数，则此数列前多少项的和最大？并求出这个最大值．解：设该等差数列为{an}，公差为d，前n项和为Sn.由已知得又n∈N*，∴n＝2，∴C－A＝C－A＝C－A＝－5×4＝100，∴a1＝100. 7777－15＝(76＋1)77－15＝7677＋C·7676…＋＋C·76＋1－15＝76(7676＋C·7675…＋＋C)－14＝76M－14(M∈N*)，∴7777－15除以19的余数是5，即m＝5.∴m的展开式的通项是Tr＋1＝C·5－rr＝(－1)rC5－2rxr－5(r＝0,1,2,3,4,5)，令r－5＝0，得r＝3，代入上式，得T4＝－4，即d＝－4，从而等差数列的通项公式是an＝100＋(n－1)×(－4)＝104－4n.设其前k项之和最大，则解得k＝25或k＝26，故此数列的前25项之和与前26项之和相等且最大，S25＝S26＝×25＝×25＝1300.12．从函数角度看，组合数C可看成是以r为自变量的函数f(r)，其定义域是{r|r∈N，r≤n}．(1)证明：f(r)＝f(r－1)；(2)利用(1)的结论，证明：当n为偶数时，(a＋b)n的展开式中最中间一项的二项式系数最大．解：(1)证明： f(r)＝C＝，f(r－1)＝C＝，∴f(r－1)＝·＝.则f(r)＝f(r－1)成立．(2)设n＝2k， f(r)＝f(r－1)，f(r－1)>0，∴＝.令f(r)≥f(r－1)≥，则1，则r≤k＋(等号不成立)．∴当r＝1,2…，，k时，f(r)>f(r－1)成立．反之...
