苏教版高中数学选修2-2导数在实际生活中的应用1VIP免费

导数在实际生活中的应用教学目标会用导数解决有关利润最大问题和费用最小的应用题，强化用导数求最值的方法以及解决实际的方法和步骤。教学重点，难点（1）根据题意列目标函数，边际函数的概念；（2）用导数求函数的极值及最值的应用能力．教学过程一．问题情境1．复习：求实际问题的最大值和最小值的一般步骤。实际问题数学模型函数求导解决问题二．数学运用1．例题：例1．设某银行中的总存款与银行付给存户的利率的平方成正比，若银行以10％的年利率把总存款的90％贷出，它给存户支付的年利率定为多少时，才能获得最大利润？解：设支付存户的年利率为x，则总存款为2(0)kxk，银行获得的利润y是贷出后收入的利润与支付存户的利息差，即22230.90.10.09(0)ykxkxxkxkxx求导数，得2'0.183ykxkx，令'0y，即20.1830kxkx，得0.06x当00.06x时，'0y；当0.06x时，'0y；当0.06x时，'0y．∴当0.06x时，y取极大值，并且极大值就是函数的最大值．答：当银行给存户的年利率定为0.06时，才能获得最大利润．例2．在经济学中，生产x单位产品的成本称为成本函数，记为()Cx；出售x单位产品的收益称为收益函数，记为()Rx；()Rx()Cx称为利润函数，记为()Px（1）设632()100.00351000Cxxxx，生产多少单位产品时，边际成本()Cx最低？用心爱心专心（2）设()5010000Cxx，产品的单价1000.01px，怎样定价，可使利润最大？解：（1）62()3100.0065Cxxx记()()gxCx，由6()6100.0060gxx，得：1000x结合()Cx的图象可知，当1000x时，边际成本最低。（2）由1000.01px，得收益函数()(1000.01)Rxxx则利润函数为2()()()1000.01(5010000)PxRxCxxxx20.015010000xx由()0.02500Pxx，解得2500x结合()Px的图象可知，当2500x时，利润最大，此时1000.01250075p答：生产1000件产品时，边际成本最低，当产品的单价为75时，利润最大。说明：（1）上面两小题均可以用二次函数求最值；（2）一般地，为使利润函数()Px()Rx()Cx取得最大值，生产规模应确定为xa且()0Pa，即()()RaCa，用图象来表示有下列几种形式：这就是如何确定生产规模的一般数学模型。例3．一蒸汽机火车每小时消耗煤的费用与火车行驶的速度的立方成正比，已知速度为20/kmh时，每小时消耗的煤价值40元，其余费用每小时200元，问火车行驶的速度是多少时（速度不超过100/kmh），全程费用最少？解：设速度为/xkmh，全程为akm，则总费用为32200()(200)()afxkxakxxx(0100)x，∵34020k，∴1200k用心爱心专心∴21200()()200fxaxx，∵322200(20000)()()100100xaxfxaxx∴当31020100x时，()0fx；当301020x时，()0fx∴3min()(1020)fxf，∴当火车行驶的速度是31020时，全程费用最少。五．回顾小结：（1）成本函数、收益函数、利润函数的概念及其相互关系；边际函数的概念。（2）目标函数的建立要注意定义域，并注意定义域在求解过程中的作用。六．课外作业：用心爱心专心