苏教版必修5高中数学基本不等式的证明2VIP免费

基本不等式的证明教学目标（1）了解两个正数的算术平均数与几何平均数的概念，能推导并掌握基本不等式；（2）理解定理的几何意义，能够简单应用定理证明不等式。教学重点，难点：基本不等式的证明及其简单应用。教学过程一．问题情境1．情境：把一个物体放在天平的盘子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为a，如果天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同（其他因素不计）那么a并非物体的重量。不过，我们可作第二次测量：把物体调换到天平的另一个盘子上，此时称得物体的质量为b。2．问题：如何合理地表示物体的质量呢？二．学生活动引导学生作如下思考：（1）把两次称得的物体的质量“平均”一下：（2）根据力学原理：设天平的两臂长分别为12,ll，物体的质量为M，则12lMla，①21lMlb，②，①，②相乘在除以12ll，得Mab（3）2ab与ab哪个大？三．建构数学1．算术平均数与几何平均数：设,ab为正数，则2ab称为,ab的算术平均数，ab用心爱心专心称为,ab的几何平均数。2．用具体数据验证得：基本不等式：ab2ab(0,0)ab即两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，当两数相等时两者相等。下面给出证明：证法1：2abab22211[()()2]()022ababab当且仅当ab即ab时，取“”。证法2：要证ab2ab，只要证2abab只要证02aabb，只要证20()ab因为最后一个不等式成立，所以ab2ab成立，当且仅当ab即ab时，取“”。证法3：对于正数,ab有2()0ab，20abab2,2abababab3．说明：（1）基本不等式成立的条件是：0,0ab（2）不等式证明的三种方法：比较法（证法1）、分析法（证法2）、综合法（证法3）用心爱心专心（3）abba2的几何解释：（如图1）以ba为直径作圆，在直径AB上取一点C，过C作弦DDAB，则abCBCACD2，从而abCD，而半径abCDba2（4）当且仅当ab时，取“”的含义：一方面是当ab时取等号，即ab2abab；另一方面是仅当ab时取等号，即2ababab。（5）如果Rba,，那么abba222（当且仅当ba时取“”）．四．数学运用1．例题：例1．设,ab为正数，证明下列不等式成立：（1）2baab；（2）12aa证明：（1）∵,ab为正数，∴,baab也为正数，由基本不等式得22babaabab∴原不等式成立。用心爱心专心ABDDCab（图1）（2）∵1,aa均为正数，由基本不等式得1122aaaa，∴原不等式成立。例2．已知cba,,为两两不相等的实数，求证：cabcabcba222证明：∵cba,,为两两不相等的实数，∴abba222，222bcbc，caac222，以上三式相加：cabcabcba222)(2222所以，cabcabcba222．例3．已知,,,abcd都是正数，求证()()4abcdacbdabcd．证明：由,,,abcd都是正数，得：02abcdabcd，02acbdacbd，∴()()4abcdacbdabcd，即()()4abcdacbdabcd．例4．求证：22423xx．证明：∵230x，又231x，∴22133xx，用心爱心专心∴22224(3)133xxxx222211323233xxxx，即22423xx．2．练习：1.给出下列结论：（1）若0,0,xy则lglg2lglgxyxy（2）若0,x则11cos2cos2coscosxxxx（3）若0x，则4424xxxx（4）若0x，则222222xxxx其中正确的有2．课本901,2P五．回顾小结：1．算术平均数与几何平均数的概念；2．基本不等式及其应用条件；3．不等式证明的三种常用方法。六．课外作业：补充：1．已知,,abc都是正数，求证：()()()8abbccaabc；2．已知,xy都是正数，求证：223333()()()8xyxyxyxy．用心爱心专心