研究性课题：杨辉三角【教学目的】1．进一步探索杨辉三角的基本性质及数字排列规律，形成知识网络；2．培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力，重点培养创新能力；3．了解我国古今数学的伟大成就，增强爱国情感．【教学手段】计算机辅助教学CAI【教学思路】→引言：为什么要探究杨辉三角？→什么是杨辉三角？→杨辉简介→师生观察讨论杨辉三角→杨辉三角的基本性质→探索杨辉三角的数字排列规律（多层次、多角度）→展示学生探究成果→教学小结【教学过程】引言:为什么要研究杨辉三角？▲教学意图研究杨辉三角的意义（1）在学习了排列组合概率和数学归纳法等知识后，继续研究杨辉三角的性质，进一步探索杨辉三角的基本性质及其中蕴含的数量关系，培养发现问题、分析问题、解决问题的能力．同时复习巩固所学知识，发现知识间的联系．（2）通过探究杨辉三角，不断培养创新能力．（创新是发展的不竭动力）（3）了解古今数学家的伟大成就，进行爱国主义教育；１．什么是杨辉三角？▲教学意图复习杨辉三角二项式（a+b）n展开式的二项式系数，当n依次取1，2，3．．．时，列出的一张表，叫做二项式系数表，因它形如三角形，南宋的杨辉对其有过深入研究，所以我们又称它为杨辉三角．（Ｐ.71图）２．介绍杨辉——古代数学家的杰出代表▲教学意图了解数学家杨辉及其成就,增强民族自豪感杨辉，杭州钱塘人。中国南宋末年数学家，数学教育家．著作甚多，他编著的数学书共五种二十一卷，著有《详解九章算法》十二卷（1261年）、《日用算法》二卷、《乘除通变本末》三卷、《田亩比类乘除算法》二卷、《续古摘奇算法》二卷．其中后三种合称《杨辉算法》，朝鲜、日本等国均有译本出版，流传世界。“杨辉三角”出现在杨辉编著的《详解九章算法》一书中，此书还说明表内除“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和．杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它，这表明我国发现这个表不晚于11世纪．用心爱心专心在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的（BlaisePascal,1623年~1662年）,他们把这个表叫做帕斯卡三角这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．３．观察杨辉三角所蕴含的数量关系▲教学意图观察发现数字排列规律,对学生的发现及时点评,培养观察力（用Excel制作的杨辉三角——另一表现形式，用到第15行）4．杨辉三角基本性质▲教学意图介绍杨辉三角蕴含的基本规律（1）表中每个数都是组合数，第n行的第r+1个数是．（2）三角形的两条斜边上都是数字1，而其余的数都等于它肩上的两个数字相加，也就是．（3）杨辉三角具有对称性（对称美），即．（4）杨辉三角的第n行是二项式（a+b）n展开式的二项式系数，即▲教学意图利用数学归纳法证明二项式定理——学以致用证明：（1）当n=1时，左边＝(a+b)1=a+b,右边＝＝a+b左边＝右边，所以等式成立．（2）假设当n=k时等式成立，即那么，当n=k+1时，＝（）用心爱心专心利用组合数的两个重要性质可得即n=k+1时等式也成立．根据（1）和（2），可知对于任意正整数n，等式都成立．▲教学意图下面,师生一起继续探究杨辉三角蕴含的数量关系，形成知识网络5．杨辉三角有趣的数字排列规律▲教学意图培养学生观察力，注意观察方法：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多种角度观察（横看成岭侧成峰，远近高低各不同！）（1）杨辉三角的第1，3，7，15，．．．行，即第2K-1(k是正整数)行的各个数字有什么特点？分析：观察可知，它们均为奇数．第2K行除两端的1之外都是偶数.（2）杨辉三角第5行中，除去两端的数字1以外，行数5整除其余所有的数．你能再找出具有类似性质的三行吗？这时的行数Ｐ是什么数？▲教学意图继续“横”看分析：如2，3，7，11等行．行数Ｐ是质数(素数).（3）计算杨辉三角中各行数字的和，看有何规律：第1行1＋1＝2第2行1＋2＋1＝4＝22第3行1＋3＋3＋1＝8＝23第4行1＋4＋6＋4＋1＝16＝24第5行1＋5＋10＋10＋5＋1＝32＝25．．．第n行分析：第n行数字的和为2n．前n行(含第0行)所有数的和为2n–1，它恰好比第n行的...
