导数一、一周知识概述本周学习的内容是高三数学第三章1—5节内容，即导数的概念；几种常见函数的导数；函数的和、差、积、商的导数复合函数的导数；对数函数与指数函数的导数.通过本周的学习，要理解研究变量时“由直到曲”、“由近似到精确”、“由有限到无限”的极限思想方法，数形结合的思想方法及变未知为已知的思想方法.二、重难点知识的归纳与剖析本大节的重点是根据导数定义求简单函数的导数的方法.难点是对导数概念的理解.导数是建立在极限基础上，并用极限定义的基本概念，它在微积分中有极其重要的地位，导数即函数的变化率，它可直接反映出许多实际问题中函数变化的快慢程度，所以学习时要善于联系导数概念的某些实际背景（例如瞬时速度，加速度，光滑曲线的切线的斜率等）.导数的方法涉及导数定义、常用求导公式、四则运算法则和复合函数求导法则等求导方法，因此重点应为导数的概念与计算，学习时应熟练掌握以下求导法：直接利用法则与公式求导、复合函数求导．在求导过程中应熟记导数公式与运算法则，重点掌握复合函数的求导方法.1、导数的定义设函数y=f(x)在点x=x0及其附近有定义，当自变量x在x0处有改变量△x（△x可正可负），则函数y相应地有改变量△y=f(x0＋△x)－f(x0)，这两个改变量的比叫做函数y=f(x)在x0到x0＋△x之间的平均变化率.如果当△x→0时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x0处可导，这个极限叫做f(x)在点x0处的导数（即瞬时变化率，简称变化率），记作f'(x0)或，即函数f(x)在点x0处的导数就是函数平均变化率当自变量的改变量趋向于零时的极限．如果极限不存在，我们就说函数f(x)在点x0处不可导.2、求导数的方法由导数定义，我们可以得到求函数f(x)在点x0处的导数的方法：（1）求函数的增量△y=f(x0＋△x)－f(x0)；用心爱心专心（2）求平均变化率；（3）取极限，得导数3、导数的几何意义函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P（x0，f(x0)）处的切线的斜率f′(x0).相应地，切线方程为y－y0=f'(x0)(x－x0).4、几种常见函数的导数函数y=C（C为常数）的导数C'=0.函数y=xn（n∈Q）的导数(xn)'=nxn－1函数y=sinx的导数(sinx)′=cosx函数y=cosx的导数(cosx)′=－sinx5、函数四则运算求导法则和的导数(u＋v)′=u′＋v′差的导数(u－v)′=u′－v′积的导数(u·v)′=u'v＋uv'商的导数.6、复合函数的求导法则一般地，复合函数y=f[φ(x)]对自变量x的导数y'x，等于已知函数对中间变量u=φ(x)的导数y'u，乘以中间变量u对自变量x的导数u'x，即y'x=y'u·u'x.7、对数、指数函数的导数（1）对数函数的导数①；用心爱心专心②.其中（1）式是（2）式的特殊情况，当a=e时，（2）式即为（1）式.（2）指数函数的导数①(ex)′=ex②(ax)′=axlna其中（1）式是（2）式的特殊情况，当a=e时，（2）式即为（1）式.三、例题点评［例1］已知函数判断f(x)在x=1处是否可导？[分析、解答、点评]［例2］求下列函数的导数：[分析、解答、点评]［例3］求证：函数图象上的各点处切线的斜率小于1，并求出其斜率为0的切线方程.[分析、解答、点评]［例4］已知f(x)的导数f'(x)=3x2－2(a＋1)x＋a－2且f(0)=2a，求不等式f(x)<0的解集.[分析、解答、点评]用心爱心专心
