120o10NOABC江苏省常州市西夏墅中学高中数学2.5向量的应用教案新人教版必修4教学目标：1．经历用向量方法解决某些简单的几何问题、力学问题的过程，体会向量是一种数学工具，发展学生运算能力和解决实际问题的能力；2．运用向量的有关知识对物理中的问题进行相关分析和计算，并在这个过程中培养学生探究问题和解决问题的能力．教学重点：运用向量的有关知识对物理中的问题进行相关分析和计算，用向量方法解决实际问题的基本方法；向量法解决几何问题的“三步曲”．教学难点：实际问题转化为向量问题，体现向量的工具作用．用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用．教学方法：启发式教学．教学过程：一、情景创设问题1如图，用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个重量是10N的灯具，则每根绳子的拉力是多少？二、学生活动问题2我们在图中标上相应的字母（如图），根据力的平衡理论，①绳子OA与绳子OB的拉力与灯具的重力G具有什么关系？②绳子OA与绳子OB的拉力有什么关系？学生讨论得出结论：①F1＋F2＋G＝0．②F1＝F2．问题3如果将绳子OA的拉力表示为向量，绳子OB的拉力表示为向量，重力表示为向量，则向量，，之间120o10N120o10NOABC有什么关系？学生讨论得出结论：++＝．这样物理问题就与数学中的向量产生了联系．三、建构数学问题4你能否根据以上信息，将这个物理问题编写成一个数学问题？你能解决这个问题吗？学生讨论，教师整理，形成数学问题：已知向量，之间的夹角为120o，且向量的模等于向量的模，向量的模为10，求向量，的模．学生讨论解决问题：过A，B两点分别作OB，OA的平行线，相交于D点，则四边形OADB是菱形，连接OD，则OD＝||＝10，因为OA＝OB＝AD＝BD，且∠AOB＝120o，所以ΔOAD是等边三角形，所以OA＝AD＝OD＝10，即||＝10，||＝10．亦即每根绳子的拉力都是10N．变题：在汽车站或火车站我们常见：两个人共提一个旅行包，若包重20N，还需什么条件，你能求每一个人手臂的拉力？小结：（由学生讨论，教师整理）1．利用向量解决物理问题的基本步骤：①问题转化，即把物理问题转化为数学问题；②建立模型，即建立以向量为载体的数学模型；③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；④回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题．2．用向量知识解决物理问题时，要注意数形结合.一般先要作出向量示意图，必要时可建立直角坐标系，再通过解三角形或坐标运算，求有关量的值．四、数学应用1．例题．例1如图（1）所示，无弹性的细绳的一端分别固定在处，同质量的细绳下端系着一个称盘，且使得，试分析三根绳子受力的大小，判断哪根绳受力最大？120oOABCDAOBCabc(1)A1OB1(2)C1abc题后反思：（1）本题你还最想知道什么？（2）绳子OB与绳子OC所受力的大小比较的本质是什么？（3）你还能提出一些什么问题？例2已知：，求证：．题后反思：（1）你能否画出一个几何图形来解释例2？（2）从例2中你能得出什么结论？学生讨论得出结论：三角形ABC的三条高交于一点．例3已知直线经过点，用向量方法求的方程．分析：设P是直线上任意一点，由与共线的条件可推导得直线方程．2．练习．（1）已知作用于点的力的大小分别为6，8，且两力间的夹角为，则两力合力的大小为__．（2）在四边形中，·＝0，＝，则四边形是_______（直角梯形、菱形、矩形、正方形）．（3）如图，一个三角形角铁支架ABC安装在墙壁上，AB∶AC∶BC＝3∶4∶5，在B处挂一个6kg的物体，求角铁AB与BC所受的力（取g＝10m/s2）．（4）已知两点，，试用向量的方法证明以线段AB为直径的圆的方程为．（5）一条河两岸平行，河宽，一艘船从A处出发航行到河的正对岸的B处，船航ABC行速度，水速，要使船垂直到达对岸所用的时间最少，与的夹角是多少？五、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容：1．如何把物理学问题转化为数学问题？2．如何把几何学问题转化为向量问题？3．如何运用向量的平行四边形法则和力的平衡知识，作好力的分解和合成．4．通过本节课的学习，让学生体会应用向量知识处理平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题是一种行之有效的工具5．数形结合法．
