人教版高中数学必修第二册不等式的证明3VIP免费

不等式的证明【考点透视】一、考纲指要1．掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式；2．理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│二、命题落点1．不等式的证明的考查主要是与数列、函数、导数、向量等知识相结合考察不等式的证明方法特别是数学归纳法、综合法、比较法等方法的掌握，如例1.2．考查不等式的基础知识、分类讨论的思想、综合思维能力，如例2，例3.【典例精析】例1：已知函数))((Rxxf满足下列条件：对任意的实数x1，x2都有)]()()[()(λ2121221xfxfxxxx和2121)()(xxxfxf，其中λ是大于0的常数.设实数a0，a，b满足0)(0af和)(λafab．（1）证明：1λ，并且不存在00ab，使得0)(0bf；（2）证明：20220))(λ1()(aaab；（3）证明：222)]()[λ1()]([afbf.解析：（1）任取则由,,,2121xxRxx)]()()[()(2121221xfxfxxxx和|||)()(|2121xxxfxf②可知22121212121221|||)()(|||)]()()[()(xxxfxfxxxfxfxxxx，从而1.假设有则由使得,0)(,000bfab①式知.0)]()()[()(00000200矛盾bfafbaba∴不存在.0)(,000bfab使得用心爱心专心（2）由)(afab③可知220202020)]([)()(2)()]([)(afafaaaaafaaab④由和0)(0af①式，得20000)()]()()[()()(aaafafaaafaa⑤由0)(0af和②式知，20202)()]()([)]([aaafafaf⑥由⑤、⑥代入④式，得2022022020)()(2)()(aaaaaaab202))(1(aa．（3）由③式可知22)]()()([)]([afafbfbf22)]([)]()()[(2)]()([afafbfafafbf22)]([)]()([2)(afafbfabab（用②式）222)]([)]()()[(2)]([afafbfabaf2222)]([)(2)([afabaf（用①式）2222222[()]2[()][()](1)[()].fafafafa例2：设)(xfy是定义在区间]1,1[上的函数，且满足条件：①;0)1()1(ff②对任意的.|||)()(|],1,1[,vuvfufvu都有（1）证明：对任意的;1)(1],1,1[xxfxx都有（2）证明：对任意的;1|)()(|],1,1[,vfufvu都有用心爱心专心（3）在区间[－1，1]上是否存在满足题设条件的奇函数)(xfy，且使得].1,21[,|,||)()(|].21,0[,.|||)()(|vuvuvfufvuvuvfuf当当若存在，请举一例：若不存在，请说明理由.解析：（1）由题设条件可知，当]1,1[x时，有,1|1|)1()(|)(|xxfxfxf即.1)(1xxfx（2）对任意的1.|v-u||f(v)-f(u)|,1||],1,1[,有时当vuvu当0,u,1|v-u|v时不妨设,0u则1,u-0vv且所以，|1||1||)1()(||)1()(||)()(|vufvffufvfuf.1)(211uvvu综上可知，对任意的],1,1[,vu都有.1|)()(|vfuf由（1）可得，当[0,1]x时，()1fxx当[1,0],|()||()(1)11||.xfxfxfxx时所以，当[1,1],|()1||.xfxx时因此，对任意的],1,1[,vu当1||vu时，.1|||)()(|vuvfuf当1||vu时，有0vu且.2||||||1vuvu所以.1)||(|2||1||1|)(||)(||)()(|vuvuvfufvfuf综上可知，对任意的],1,1[,vu都有.1|)()(|vfuf（3）满足所述条件的函数不存在.理由如下，假设存在函数)(xf满足条件，则由],1,21[,|,||)()(|vuvuvfuf用心爱心专心得.21|121||)1()21(|ff又,0)1(f所以.21|)21(|f①又因为)(xf为奇数，所以.0)0(f由条件],21,0[,|,||)()(|vuvuvfuf得.21|)0()21(||)21(|fff②①与②矛盾，所以假设不成立，即这样的函数不存在.例3：正项数列na满足221111,10nnnnananaaa2n．（1）求234,,aaa及na;（2）试确定一个正整数N,使当nN时,不等式1234231naaaana>121241成立;（3）求证:(1+n1)n<121naaa．解析：（1）221110nnnnnanaaa(1nnana－1)(1nnaa+1)=0,又 10,0nnaa，故1nnaa=n1,11a，2a=21=!21,3...