2xyyx1图3xyyx2图江西省南昌市湾里一中高中数学函数的单调性教案新人教A版必修1教学目的：（1）了解单调函数、单调区间的概念：能说出单调函数、单调区间这两个概念的大致意思奎屯王新敞新疆（2）理解函数单调性的概念：能用自已的语言表述概念；并能根据函数的图象指出单调性、写出单调区间奎屯王新敞新疆（3）掌握运用函数的单调性定义解决一类具体问题：能运用函数的单调性定义证明简单函数的单调性奎屯王新敞新疆教学重点：函数的单调性的概念；教学难点：利用函数单调的定义证明具体函数的单调性奎屯王新敞新疆教学过程：一、复习引入：⒈复习：我们在初中已经学习了函数图象的画法.为了研究函数的性质，我们按照列表、描点、连线等步骤先分别画函数和的图象.的图象如图1，的图象如图2.⒉引入：从函数的图象（图1）看到：11x2x)(1xf)(2xf)(xf3图yx1x2x)(1xf)(2xf)(xf4图yx图象在轴的右侧部分是上升的，也就是说，当在区间[0，+)上取值时，随着的增大,相应的值也随着增大，即如果取∈[0，+)，得到=,=,那么当<时，有<.这时我们就说函数==在[0,+)上是增函数.图象在轴的左侧部分是下降的，也就是说，当在区间（-，0）上取值时，随着的增大，相应的值反而随着减小，即如果取∈（-，0），得到=,=,那么当<时，有>.这时我们就说函数==在(-,0)上是减函数.二、讲解新课：⒈增函数与减函数21x2x)(1xf)(2xf)(xf5图yx定义：对于函数的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值，⑴若当<时，都有<,则说在这个区间上是增函数（如图3）；⑵若当<时，都有>,则说在这个区间上是减函数（如图4）.说明：函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数（图1），当∈[0,+)时是增函数，当∈(-,0)时是减函数.⒉单调性与单调区间若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.说明：⑴函数的单调区间是其定义域的子集；⑵应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数），例如，图5中，在那样的特定位置上，虽然使得>，但显然此图象表示的函数不是一个单调函数；⑶除了严格单调函数外，还有不严格单调函数，它的定义类似上述的定义，只要将上述定义中的“<或>,”改为“或,”即可。三、讲解例题：例1如图6是定义在闭区间[-5，5]上的函数的图象，根据图象说出的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数.解：函数的单调区间有[-5，-2)，[-2，1)，[1，3)，[3，5]，其中在区3531-2-5xOy间[-5，-2)，[1，3)上是减函数，在区间[-2，1)，[3，5]上是增函数.例2证明函数在R上是增函数.证明：设是R上的任意两个实数，且<，则－=(3+2)-(3+2)=3(－),由0,又由<,得－>0,于是－>0,即>∴在(0,+)上是减函数.例4．讨论函数在(-2,2)内的单调性.解：∵，对称轴∴若,则在(-2,2)内是增函数；若则在(-2,a)内是减函数,在[a,2]内是增函数若,则在(-2,2)内是减函数.四、练习：1：判断函数在R上是增函数还是减函数？并证明你的结论.解：设,∈R，且<，4∵－=(-3+2)-(-3+2)=3(-),又<,∴－>0,即>.∴在R上是减函数.3判断函数=在(-,0)上是增函数还是减函数并证明你的结论.解：设,∈(-，0)，且<，∵－=－==,由,∈(-，0)，得>0,又由<,得－>0,于是－>0,即>.∴=在(0,+)上是减函数.能否说函数=在(-，+)上是减函数？答：不能.因为=0不属于=的定义域.五、小结：⒈讨论函数的单调性必须在定义域内进行,即函数的单调区间是其定义域的子集,因此讨论函数的单调性,必须先确定函数的定义域;⒉根据定义证明函数单调性的一般步骤是：⑴设,是给定区间内的任意两个值，且<；⑵作差－，并将此差式变形（要注意变形的程度）；⑶判断－的正负（要注意说理的充分性）；⑷根据－的符号确定其增减性.5
