抛物线的标准方程【新知导读】1．平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做(定点F不在定直线l上)．定点F叫做抛物线的，定直线l叫做抛物线的．2．填写下表：标准方程图形焦点坐标准线方程3．抛物线的准线方程是（）A.B.C.D.【范例点睛】【例1】斜率为1的直线经过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线交于两点A、B，求线段AB的长．策略：本题是直线与抛物线的位置关系问题．处理方法同前面椭圆、双曲线内容．其基本思路：一、建立直线方程与抛物线方程的联立方程组，解出A、B两点的坐标，用距离公式；二、利用韦达定理及弦长公式求解；三、利用抛物线的定义，|AB|＝xA＋xB＋p求解．解：如图所示，由抛物线的标准方程可知，焦点F(1，0)，准线方程为x＝－1，由题设，直线AB的方程为y＝x－1，代入抛物线方程y2＝4x，整理得x2－6x＋1＝0．解法一：解上述方程得：x1＝3＋2，x2＝3－2，分别代入直线方程得y1＝2＋2，y2＝2－2，即A、B的坐标分别为(3＋2，2＋2)、(3－2，2－2)用心爱心专心oxylyoFloxyFloxyFl∴|AB|＝＝8解法二：设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则x1＋x2＝6，x1x2＝1∴|AB|＝|x1－x2|＝＝＝8．解法三：设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由抛物线定义可知，|AF|＝|AA′|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1∴|AB|＝x1＋x2＋2＝6＋2＝8．评注：本题是一个有关抛物线的焦点弦问题，其解题思想值得研究．【例2】求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)过点(－3，2)；(2)焦点在直线x－2y－4＝0上．策略：根据已知条件求出抛物线的标准方程中的p即可，注意标准方程的形式．解：(1)设抛物线方程为y2＝－2px或x2＝2py(y>0)，将点(－3，2)代入方程得2p＝或2p＝，∴所求抛物线方程为y2＝－x或x2＝y．(2)令x＝0，由方程x－2y－4＝0得y＝－2．∴抛物线的焦点为F(0，－2)．设抛物线方程为x2＝－2py，则由＝2，得2p＝8，∴所求的抛物线方程为x2＝－8y．或令y＝0，由x－2y－4＝0得x＝4，∴抛物线焦点为F(4，0)．设抛物线方程为y2＝2px，由＝4得p＝8．则所求方程为y2＝16x．总之，所求抛物线方程为x2＝－8y或y2＝16x．评注：此两小题都有两解，注意不要丢解．做题前可先画草图，全面考查已知条件．本题都采用了待定系数法求解，要注意解题方法和技巧．所求抛物线方程为y2＝－x或x2＝y．所求抛物线方程为x2＝－8y或y2＝16x．【自我检测】1．动点P到直线x＋4＝0的距离减去它到M(2，0)的距离之差是2，则点P的轨迹是（）A．直线B．椭圆C．双曲线D．抛物线2．抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上一点(－5，2)到焦点距离是6，则抛物线的方程是（）A．y2＝－2xB．y2＝－4xC．y2＝2xD．y2＝－4x或y2＝－36x3．抛物线的顶点在坐标原点，焦点是椭圆4x2＋y2＝1的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离为（）A．2B．C．D．4．抛物线y＝－x2的准线方程是（）用心爱心专心A．x＝B．x＝C．y＝2D．y＝45．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，那么|AB|＝___________．6．已知抛物线的焦点坐标为(2，1)，准线方程为2x＋y＝0，则其顶点坐标为___________．7．若抛物线顶点是双曲线x2－＝1的中心，且准线与此双曲线的右准线重合，则此抛物线的方程为___________．8．已知点M与点F(4，0)的距离比它到直线l：x＋5＝0的距离小1，求点M的轨迹方程．9．已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标．10．如图8—5—5所示，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1，以点A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM|＝，|AN|＝3，且|BN|＝6．建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．参考答案【新知导读】1、答案：抛物线，焦点，准线2、答案：标准方程图形焦点坐标准线方程用心爱心专心oFxylxyoFloxyFloxyFl2、答：C【自我检测】1．答案：D解析：因为点P到直线x＝－4的距离比到定点M(2，0)的距离大2，故点P到直线x＝－2的距离等于到定点M(2，0)的距离，所以P点轨迹为抛物线．2．答案：B解析：因为点(－5，2)在第二象限，且以原点为顶点，x轴为对称轴，故抛物线开口向左，设其方...
