高中数学 1.2.3.1 空间中的垂直关系活页训练 新人教B版必修2VIP专享VIP免费

1.2.3.1空间中的垂直关系1．直线l⊥平面α，直线m⊂α，则()．A．l⊥mB．l∥mC．l，m异面D．l，m相交而不垂直解析无论l与m是异面，还是相交，都有l⊥m，考查线面垂直的定义，故选A.答案A2．若斜线段AB是它在平面α上的射影的长的2倍，则AB与平面α所成的角是()．A．60°B．45°C．30°D．120°解析斜线段、垂线段以及射影构成直角三角形．如图所示，∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角，又AB＝2BO，所以cos∠ABO＝＝.所以∠ABO＝60°.故选A.答案A3．如图所示，PO⊥平面ABC，BO⊥AC，在图中与AC垂直的线段有()．A．1条B．2条C．3条D．4条解析∵PO⊥平面ABC，∴PO⊥AC，又∵AC⊥BO，∴AC⊥平面PBD，∴平面PBD中的4条线段PB，PD，PO，BD与AC垂直．答案D4．在正方体A1B1C1D1ABCD中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心(如图)，则EF与平面BB1O的关系是________．解析由正方体性质知AC⊥BD，BB1⊥AC，∵E，F是棱AB，BC的中点，∴EF∥AC，∴EF⊥BD，EF⊥BB1，∴EF⊥平面BB1O.答案垂直5．若a，b表示直线，α表示平面，下列命题中正确的有________个．①a⊥α，b∥α⇒a⊥b;②a⊥α，a⊥b⇒b∥α；③a∥α，a⊥b⇒b⊥α；④a⊥α，b⊥α⇒a∥b.解析由线面垂直的性质定理知①④正确．答案26．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.(1)求证：PA∥平面EDB；(2)求证：PB⊥平面EFD.证明(1)连接AC，AC交BD于点O.连接EO，如图．∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点．在△PAC中，EO是中位线，∴PA∥EO.而EO⊂平面EDB且PA⊄平面EDB.所以PA∥平面EDB.(2)∵PD⊥底面ABCD且DC⊂底面ABCD.∴PD⊥DC.∵PD＝DC，可知△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，∴DE⊥PC.①同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC.∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC.而DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE.②由①和②推得DE⊥平面PBC.而PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB.又EF⊥PB且DE∩EF＝E，∴PB⊥平面EFD.7．已知l，m，n为两两垂直的三条异面直线，过l作平面α与直线m垂直，则直线n与平面α的关系是()．A．n∥αB．n∥α或n⊂αC．n⊂α或n与α不平行D．n⊂α解析∵l⊂α，且l与n异面，∴n⊄α，又∵m⊥α，n⊥m，∴n∥α.答案A8．如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，现在沿SE，SF，EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3重合，重合后的点记为G.给出下列关系：①SG⊥平面EFG；②SE⊥平面EFG；③GF⊥SE；④EF⊥平面SEG.其中成立的有()．A．①②B．①③C．②③D．③④解析由SG⊥GE，SG⊥GF，得SG⊥平面EFG，排除C、D；若SE⊥平面EFG，则SG∥SE，这与SG∩SE＝S矛盾，排除A，故选B.答案B9．如果三棱锥的三个侧面两两相互垂直，则顶点在底面的正投影是底面三角形的________心．解析三棱锥的三个侧面两两相互垂直，则三条交线两两互相垂直，可证投影是底面三角形的垂心．答案垂10．已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，若A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB1与ABC底面所成的角的正弦值等于________．解析由题意知，三棱锥A1ABC为正四面体(各棱长都相等的三棱锥)，设棱长为a，则AB1＝a，棱柱的高A1O＝＝＝a(即点B1到底面ABC的距离)，故AB1与底面ABC所成的角的正弦值为＝.'答案11．如图所示，四边形ABCD为正方形，SA垂直于四边形ABCD所在的平面，过点A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于点E，F，G.求证：AE⊥SB，AG⊥SD.证明因为SA⊥平面ABCD，所以SA⊥BC.又BC⊥AB，SA∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB，又AE⊂平面SAB，所以BC⊥AE.因为SC⊥平面AEFG，所以SC⊥AE.又BC∩SC＝C，所以AE⊥平面SBC，所以AE⊥SB.同理可证AG⊥SD.12．如图，在四棱锥P－ABCD中，PO⊥面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°.(1)求证：PC⊥BC.(2)求点A到平面PBC的距离．(1)证明因为PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC.因为∠BCD＝90°，所以BC⊥CD.又PD∩CD＝D，所以BC⊥平面PCD.而PC⊂平面PCD，所以PC⊥BC.(2)解如图，过点A作BC的平行线交CD的延长线于E，过点E作PC的垂线，垂足为F，则有AE∥平面PBC，所以点A到平面PBC的距离等于点E到平面PBC的距离．又EF⊥PC，BC⊥平面PCD，则EF⊥BC.BC∩PC＝C，所以EF⊥平面PBC.EF即为E到平面PBC的距离．又因为AE∥BC，AB∥CD，所以四边形ABCE为平行四边形．所以CE＝AB＝2.又PD＝CD＝1，PD⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD.所以PD⊥CD，∠PCD＝45°.所以EF＝.即点A到平面PBC的距离为.