1.2.3.1空间中的垂直关系1.直线l⊥平面α,直线m⊂α,则().A.l⊥mB.l∥mC.l,m异面D.l,m相交而不垂直解析无论l与m是异面,还是相交,都有l⊥m,考查线面垂直的定义,故选A.答案A2.若斜线段AB是它在平面α上的射影的长的2倍,则AB与平面α所成的角是().A.60°B.45°C.30°D.120°解析斜线段、垂线段以及射影构成直角三角形.如图所示,∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角,又AB=2BO,所以cos∠ABO==.所以∠ABO=60°.故选A.答案A3.如图所示,PO⊥平面ABC,BO⊥AC,在图中与AC垂直的线段有().A.1条B.2条C.3条D.4条解析∵PO⊥平面ABC,∴PO⊥AC,又∵AC⊥BO,∴AC⊥平面PBD,∴平面PBD中的4条线段PB,PD,PO,BD与AC垂直.答案D4.在正方体A1B1C1D1ABCD中,E,F分别是棱AB,BC的中点,O是底面ABCD的中心(如图),则EF与平面BB1O的关系是________.解析由正方体性质知AC⊥BD,BB1⊥AC,∵E,F是棱AB,BC的中点,∴EF∥AC,∴EF⊥BD,EF⊥BB1,∴EF⊥平面BB1O.答案垂直5.若a,b表示直线,α表示平面,下列命题中正确的有________个.①a⊥α,b∥α⇒a⊥b;②a⊥α,a⊥b⇒b∥α;③a∥α,a⊥b⇒b⊥α;④a⊥α,b⊥α⇒a∥b.解析由线面垂直的性质定理知①④正确.答案26.如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.(1)求证:PA∥平面EDB;(2)求证:PB⊥平面EFD.证明(1)连接AC,AC交BD于点O.连接EO,如图.∵底面ABCD是正方形,∴点O是AC的中点.在△PAC中,EO是中位线,∴PA∥EO.而EO⊂平面EDB且PA⊄平面EDB.所以PA∥平面EDB.(2)∵PD⊥底面ABCD且DC⊂底面ABCD.∴PD⊥DC.∵PD=DC,可知△PDC是等腰直角三角形,而DE是斜边PC的中线,∴DE⊥PC.①同样由PD⊥底面ABCD,得PD⊥BC.∵底面ABCD是正方形,有DC⊥BC,∴BC⊥平面PDC.而DE⊂平面PDC,∴BC⊥DE.②由①和②推得DE⊥平面PBC.而PB⊂平面PBC,∴DE⊥PB.又EF⊥PB且DE∩EF=E,∴PB⊥平面EFD.7.已知l,m,n为两两垂直的三条异面直线,过l作平面α与直线m垂直,则直线n与平面α的关系是().A.n∥αB.n∥α或n⊂αC.n⊂α或n与α不平行D.n⊂α解析∵l⊂α,且l与n异面,∴n⊄α,又∵m⊥α,n⊥m,∴n∥α.答案A8.如图,正方形SG1G2G3中,E,F分别是G1G2,G2G3的中点,现在沿SE,SF,EF把这个正方形折成一个四面体,使G1、G2、G3重合,重合后的点记为G.给出下列关系:①SG⊥平面EFG;②SE⊥平面EFG;③GF⊥SE;④EF⊥平面SEG.其中成立的有().A.①②B.①③C.②③D.③④解析由SG⊥GE,SG⊥GF,得SG⊥平面EFG,排除C、D;若SE⊥平面EFG,则SG∥SE,这与SG∩SE=S矛盾,排除A,故选B.答案B9.如果三棱锥的三个侧面两两相互垂直,则顶点在底面的正投影是底面三角形的________心.解析三棱锥的三个侧面两两相互垂直,则三条交线两两互相垂直,可证投影是底面三角形的垂心.答案垂10.已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等,若A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心,则AB1与ABC底面所成的角的正弦值等于________.解析由题意知,三棱锥A1ABC为正四面体(各棱长都相等的三棱锥),设棱长为a,则AB1=a,棱柱的高A1O===a(即点B1到底面ABC的距离),故AB1与底面ABC所成的角的正弦值为=.'答案11.如图所示,四边形ABCD为正方形,SA垂直于四边形ABCD所在的平面,过点A且垂直于SC的平面分别交SB,SC,SD于点E,F,G.求证:AE⊥SB,AG⊥SD.证明因为SA⊥平面ABCD,所以SA⊥BC.又BC⊥AB,SA∩AB=A,所以BC⊥平面SAB,又AE⊂平面SAB,所以BC⊥AE.因为SC⊥平面AEFG,所以SC⊥AE.又BC∩SC=C,所以AE⊥平面SBC,所以AE⊥SB.同理可证AG⊥SD.12.如图,在四棱锥P-ABCD中,PO⊥面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=90°.(1)求证:PC⊥BC.(2)求点A到平面PBC的距离.(1)证明因为PD⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,所以PD⊥BC.因为∠BCD=90°,所以BC⊥CD.又PD∩CD=D,所以BC⊥平面PCD.而PC⊂平面PCD,所以PC⊥BC.(2)解如图,过点A作BC的平行线交CD的延长线于E,过点E作PC的垂线,垂足为F,则有AE∥平面PBC,所以点A到平面PBC的距离等于点E到平面PBC的距离.又EF⊥PC,BC⊥平面PCD,则EF⊥BC.BC∩PC=C,所以EF⊥平面PBC.EF即为E到平面PBC的距离.又因为AE∥BC,AB∥CD,所以四边形ABCE为平行四边形.所以CE=AB=2.又PD=CD=1,PD⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD.所以PD⊥CD,∠PCD=45°.所以EF=.即点A到平面PBC的距离为.