空间向量的坐标表示教学目标（1）能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算；（2）会根据向量的坐标判断两个空间向量平行．教学重点，难点空间向量的坐标的确定及运算．教学过程一．问题情境1．情境：在平面“解析几何初步”一章中，我们已经学习过空间直角坐标系，并能用坐标表示空间任意一点的位置．2．问题：如何用坐标表示空间向量？怎样进行空间向量的坐标运算？二．学生活动复习平面向量的坐标表示及运算律：（1）若pxiyj�（,ij分别是,xy轴上同方向的两个单位向量），则p�的坐标为(,)xy；（2）若12(,)aaa，12(,)bbb，则1122(,)ababab，1122(,)ababab，12(,)()aaaR，1122ababab，1122//,()abababR，11220ababab；（3）若11(,)Axy，22(,)Bxy，则2121(,)ABxxyy�．三．建构数学1．空间向量的坐标表示如图，在空间直角坐标Oxyz中，分别取与x轴、y轴、z轴方向的单位向量,,ijk作为基向量，对于空间任意一个向量a，根据空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组用心爱心专心(,,)xyz使axiyjzk．有序实数组(,,)xyz叫做向量a在空间直角坐标Oxyz中的坐标，记作(,,)axyz．2．在空间直角坐标Oxyz中，对于空间任意一点(,,)Axyz，向量OA�是确定的，容易得到OAxiyjzk�，因此，向量OA�的坐标为(,,)OAxyz�．这就是说，当空间向量a的起点移至坐标原点时，其终点的坐标就是向量a的坐标．3．向量坐标运算法则（1）设123(,,)aaaa，123(,,)bbbb，则112233(,,)abababab，112233(,,)abababab，123(,,),aaaaR（2）若111(,,)Axyz，222(,,)Bxyz，则212121(,,)ABxxyyzz�．4．空间向量平行的坐标表示112233//(0),,()ababababaR．四．数学运用1．例题：例1．已知(1,3,8)a，(3,10,4)b，求ab，ab，3a．解：(1,3,8)(3,10,4)(13,310,84)(4,7,4)ab，(1,3,8)(3,10,4)(13,310,84)(2,13,12)ab，33(1,3,8)(3,9,24)a例2．已知空间四点(2,3,1),(2,5,3),(10,0,10)ABC和(8,4,9)D，求证：四边形ABCD是梯形．证：依题意(2,3,1),(2,5,3)OAOB�，所以(2,5,3)(2,3,1)(4,8,2)ABOBOA�用心爱心专心同理(2,4,1),(10,1,8),(8,5,7)DCADBC�由2ABDC�可知，//,||||ABCDABDC�，又AD�与BC�不共线，所以四边形ABCD是梯形．说明：与平面向量一样，若111(,,)Axyz，222(,,)Bxyz，则212121(,,)ABOBOAxxyyzz�．这就是说，一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标．例3．已知(1,6,3),(1,2,9),(4,0,24)abc，求证：,,abc共面．解：因为(1,6,3),(1,2,9)ab，所以a与b不共线．设cxayb，则4,620,3924.xyxyxy解得1,3.xy所以3cab，所以,,abc共面．例4．在正方体111ABCDABCD中，,,MNP分别是11111,,CCBCCD的中点，试建立空间直角坐标系，证明：平面//MNP平面1ABD．解：以1D为坐标原点，11111,,DADCDD所在直线为,,xyz轴，建立空间直角坐标系．设正方体棱长为1，则1(1,0,0),(1,1,1)AB，11111(0,0,1),(1,1,0),(0,1,0),(,1,0),(0,1,),(0,0,0)22DBCNMD，1(0,,0)2P，于是11(0,1,1),(1,0,1),ABAD�1111(,0,),(0,,)2222NMPM�，显然有1111,22NMADPMAB�．所以，11//,//NMADPMAB�，因此平面//MNP平面1ABD．用心爱心专心说明：同平面解析几何坐标法解题一样，关键是如何建立适当的坐标系．当然本题不用坐标法而用向量的方法也不难证明．2．练习：课本练习1，2，3，4，5，6．五．回顾小结：1．会正确的确定空间向量及点的坐标；2．向量的坐标判断两个空间向量平行的方法；六．课外作业：课本第9、10、11题．用心爱心专心
