§3.2.3利用向量解决平行与垂直问题【学情分析】：教学对象是高二的学生，学生已经具备空间向量与立方体几何的相关知识,前面又学习了用向量表示线线、线面、面面间的位置关系与向量运算的关系，所以本节课是通过运用这些关系解决立体几何中的平行与垂直问题。本次课内容不难理解，但学生自己做题时往往会遇到一个如何转化的问题，因此，教学中应重点抓住转换思想来进行.【教学目标】：（1）知识与技能：继续理解用向量表示空间中平行与垂直的关系和方法；会用向量法和坐标法等方法解决立体几何中的平行与垂直问题.（2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合与问题转化的思想方法，加深对相关内容的理解。（3）情感态度与价值观：体会把立方体几何几何转化为向量问题优势，培养探索精神。【教学重点】：向量法与坐标法.【教学难点】：立体几何中的平行与垂直问题向向量问题的转化.【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一、复习引入1．用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”.2．平行与垂直关系的向量表示。为学习新知识做准备.二、探究新知一、用向量处理平行问题分析：先复习共面向量定理。要解决问题，可以考虑将向量用向量线性表示出来。例1是一道线面平行问题，需要利用共面向量定理来证明。同时介绍解决问题的向量法。ADCBEFNM1评注：向量p与两个不共线的向量a、b共面的充要条件是存在实数对x,y使p=xa+yb.利用共面向量定理可以证明线面平行问题。本题用的就是向量法。（图略）分析：面面平行线面平行线线平行。评注：由于三种平行关系可以相互转化，所以本题可用逻辑推理来证明。用向量法将逻辑论证转化为问题的算法化，在应用向量法时需要合理建立空间直角坐标系，方能减少运算量。本题选用了坐标法。思考：一般应如何建立空间直角坐标系？二、用向量处理垂直问题联系共线向量来理解。例2是关于面面平行的问题，联系几何定理与向量平行。同时介绍解决问题的坐标法。[来源:Zxxk.Com]例3是线面垂直问题，图形和例2一样是正方体，可进一步训练坐标,,.FBANAC�存在实数使FM()()()(1).MNMFFAANBFEBACBEBAABADEBBEADEBBEBCBEBEBC���:,,,BEABFMANFBAC证明在正方形ABCD与ABEF中,11111:,,DADCDDxyz证明如图分别以、、三边所在的直线为轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,111(1,0,0),(1,1,0),(0,0,1),(0,0,1)(1,0,1),(1,0,1)ABCDDBC�1则则A1111111111111//.////.//.//.ADBCADBCADCBDABCBDABDCBD�即直线，则平面同理右证：平面平面平面2ABCDO三、练习巩固分别用向量法和坐标法解决以下问题：向量法：所以，结论成立。坐标法：证明：（图略）巩固知识，培养技能.四、小结利用向量解决平行与垂直问题反思归纳.2/1,0,0,,',1cbcabaACcABbAAa设证明：设底面边长为bacCCACBABCabBBABABacACAACA''''''2222(2)()(2)()22110caabbaabbaaabbab����������������).,1,0('),,1,0('),,0,3(').0,1,0(),0,1,0(),0,0,3(.,,2hChBhACBAh系如图建立空间直角坐标高为设底面边长为2220''31,2.''020.''ABAChhABBChBCAB��3A'B'CBC'A1．向量法：利用向量的概念技巧运算解决问题。2．坐标法：利用数及其运算解决问题。两种方法经常结合起来使用。五、作业1，直三棱柱中，角ACB是直角，AC＝1，CB＝，侧棱=1，侧面的两条对角线交点为D，的中点为M，求证CD平面BDM。2，课本p111第1、3题。练习与测试：（基础题）1，直三棱柱ABC—A1B1C1中，若，则（）A．+－B．－+C．－++D．－+－答：D2，若向量、（）A．B．C．D．以上三种情况都可能答：B3，一空间四边形ABCD的对边AB与CD，AD与BC都互相垂直，用向量证明：AC与BD也互相垂直．证明：.又，即.……①.又，即.……②由①+②得：即..4，如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点．（1）求证：EF∥平面PAD；（2）求证：EF⊥CD；证：如图，建立空间直角坐标系A－xyz，设AB＝2a，BC...
