8.2椭圆的简单几何性质一、二、本章主要内容8.2椭圆的简单几何性质课本第97页至第103页三、本讲主要内容1、椭圆的第二定义(圆锥曲线的统一定义);2、椭圆的简单几何性质;3、椭圆的参数方程。四、学习指导1、根据曲线的条件求出其对应的方程,根据曲线的方程特征研究它的几何性质,是解析几何的基本问题。前者是手段,后者是目的。本节的椭圆方程是在以椭圆两个焦点的中点为原点,以对称轴所在直线为坐标轴这个坐标系下推导出来的。2、两个定义的统一性。教材P.100例4是椭圆的第二定义(它同时又是圆锥曲线的统一定义),它与第一定义是统一的。联系如下:教材第93页自上而下第七行为:接下来作如下整理:∴∴表示动点M与右焦点F2的距离表示直线到点M的距离图见课本第100页例4图,用文字语言表述,即为第二定义当涉及到椭圆上的点到焦点距离时,通常用第一或第二定义去转化,降低运算量。利用第二定义可得焦半径(焦点与椭圆上点连线长度):设椭圆上点P坐标为(x0,y0)当焦点在x轴上时,左焦半径r=a+ex0右焦半径r=a-ex0当焦点在y轴上时,上焦半径r=a+ey0下焦半径r=a-ey0注:当点P为长轴端点时,焦半径分别取得最大和最小值4、椭圆的性质(1)几何性质:①位置关系:中心是两焦点、顶点的中点,两准线关于中心对称;焦点在长轴上;长轴与准线垂直;对称性(具有轴对称和中心对称)②数量关系:主要是距离的不变性。两焦点、长轴两个顶点、短轴两个顶点之间距离始终为2c,2a,2b;两准线之间距离为;焦点到对应准线距离(焦准距等等)③离心率:,0b>0)(a>b>0)焦点:(±c,0)(0,±c)顶点:(±a,0),(0,±b)(0,±a),(±b,0)准线:x=±y=±4、直线与椭圆的位置关系有三种:相离、相交、相切,与直线和圆的位置关系类似。判断方法是判别式(△法)。当直线与椭圆相交时,设直线与椭圆(a>b>0)相交于A、B两点,AB中点为M(x0,y0),对于与中点有关的问题通常有两种途径:(1)列方程用韦达定理;(2)点差法,有结论:。不管是哪一种途径,都体现了设而不求的思想。5、椭圆(a>b>0)的参数方程为(θ为参数);椭圆(a>b>0)的参数方程为(θ为参数)。五、典型例题例1、定点A(-1,1),B(1,0),点P在椭圆上运动,求|PA|+2|PB|的最小值。解题思路分析:如果试图用距离公式建立函数关系,从而求最小值,显然是行不通的。注意到B(1,0)是焦点,因此用定义转化2|PB|设右准线:=4过P作PH⊥,H为垂足则,∴|PH|=2|PB|∴(|PA|+2|PB|)min=(|PA|+|PH|)min A、分别为定点与定直线2∴过A作AH0⊥,交椭圆于P0,H0为垂足,则点P0为所求的点(|PA|+|PH|)min=|AH0|=5注:实际上,|PA|+2|PB|=|PA|+|PB|。对于与焦半径及离心率有关的问题,一般用椭圆的第二定义转化。例2、过椭圆的左焦点F作倾斜角为α的弦MN,若弦长不大于短轴长,求cosα的取值范围。解题思路分析:本题cosα范围所对应的不等关系很明显:|MN|≤2b=4,关系是如何求|MN|,焦半径的原理就是椭圆的第二定义。设直线MN:,代入得(1+4k2)x2+16k2x+16(3k2-1)=0 焦点F在椭圆内部∴该方程判别式△≥0恒成立设M(x1,y1),N(x2,y2)则x1+x2=……①又|MN|=|MF|+|NF|=a+ex1+a+ex2=2a+e(x1+x2)=8+(x1+x2)∴8+(x1+x2)≤4∴x1+x2≤……②由①②得:≤化简得:k2≥,即≥∴≤∴≤∴注:当直线与椭圆相交时,对于交点,一般都用设而不求的思想处理。途径一就是本例的模型;列方程组,用韦达定理。另一种常用途径见下例。例3、焦点在x轴上的椭圆c的一顶点为B(0,-1),右焦点到直线m:x-y+=0的距离为3,(1)求c的方程;(2)是否存在斜率k≠0的直线与c交于两点M、N,使|BM|=|BN|?若存在,求出k的取值范围;若不存在,注明理由。解题思路分析:(1)设椭圆方程为(a>b>0)则b=1,右焦点F(c,0)3 ∴c=(舍),或c=∴c2=2,a2=b2+c2=3∴椭圆c的方程为思路一:设M(x1,y1),N(x2,y2),MN中点P(x0,y0)则两式相减得:(x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0显然x1...