8.2椭圆的简单几何性质一、二、本章主要内容8.2椭圆的简单几何性质课本第97页至第103页三、本讲主要内容1、椭圆的第二定义（圆锥曲线的统一定义）；2、椭圆的简单几何性质；3、椭圆的参数方程。四、学习指导1、根据曲线的条件求出其对应的方程，根据曲线的方程特征研究它的几何性质，是解析几何的基本问题。前者是手段，后者是目的。本节的椭圆方程是在以椭圆两个焦点的中点为原点，以对称轴所在直线为坐标轴这个坐标系下推导出来的。2、两个定义的统一性。教材P.100例4是椭圆的第二定义（它同时又是圆锥曲线的统一定义），它与第一定义是统一的。联系如下：教材第93页自上而下第七行为：接下来作如下整理：∴∴表示动点M与右焦点F2的距离表示直线到点M的距离图见课本第100页例4图，用文字语言表述，即为第二定义当涉及到椭圆上的点到焦点距离时，通常用第一或第二定义去转化，降低运算量。利用第二定义可得焦半径（焦点与椭圆上点连线长度）：设椭圆上点P坐标为（x0,y0）当焦点在x轴上时，左焦半径r=a+ex0右焦半径r=a-ex0当焦点在y轴上时，上焦半径r=a+ey0下焦半径r=a-ey0注：当点P为长轴端点时，焦半径分别取得最大和最小值4、椭圆的性质（1）几何性质：①位置关系：中心是两焦点、顶点的中点，两准线关于中心对称；焦点在长轴上；长轴与准线垂直；对称性（具有轴对称和中心对称）②数量关系：主要是距离的不变性。两焦点、长轴两个顶点、短轴两个顶点之间距离始终为2c，2a，2b；两准线之间距离为；焦点到对应准线距离（焦准距等等）③离心率：，0b>0）（a>b>0）焦点：（±c，0）（0，±c）顶点：（±a，0），（0，±b）（0，±a），（±b，0）准线：x=±y=±4、直线与椭圆的位置关系有三种：相离、相交、相切，与直线和圆的位置关系类似。判断方法是判别式（△法）。当直线与椭圆相交时，设直线与椭圆（a>b>0）相交于A、B两点，AB中点为M（x0，y0），对于与中点有关的问题通常有两种途径：（1）列方程用韦达定理；（2）点差法，有结论：。不管是哪一种途径，都体现了设而不求的思想。5、椭圆（a>b>0）的参数方程为（θ为参数）；椭圆（a>b>0）的参数方程为（θ为参数）。五、典型例题例1、定点A（-1，1），B（1，0），点P在椭圆上运动，求|PA|+2|PB|的最小值。解题思路分析：如果试图用距离公式建立函数关系，从而求最小值，显然是行不通的。注意到B（1，0）是焦点，因此用定义转化2|PB|设右准线：=4过P作PH⊥，H为垂足则，∴|PH|=2|PB|∴(|PA|+2|PB|)min=(|PA|+|PH|)min A、分别为定点与定直线2∴过A作AH0⊥，交椭圆于P0，H0为垂足，则点P0为所求的点(|PA|+|PH|)min=|AH0|=5注：实际上，|PA|+2|PB|=|PA|+|PB|。对于与焦半径及离心率有关的问题，一般用椭圆的第二定义转化。例2、过椭圆的左焦点F作倾斜角为α的弦MN，若弦长不大于短轴长，求cosα的取值范围。解题思路分析：本题cosα范围所对应的不等关系很明显：|MN|≤2b=4，关系是如何求|MN|，焦半径的原理就是椭圆的第二定义。设直线MN：，代入得(1+4k2)x2+16k2x+16(3k2-1)=0 焦点F在椭圆内部∴该方程判别式△≥0恒成立设M（x1，y1），N（x2，y2）则x1+x2=……①又|MN|=|MF|+|NF|=a+ex1+a+ex2=2a+e(x1+x2)=8+(x1+x2)∴8+(x1+x2)≤4∴x1+x2≤……②由①②得：≤化简得：k2≥，即≥∴≤∴≤∴注：当直线与椭圆相交时，对于交点，一般都用设而不求的思想处理。途径一就是本例的模型；列方程组，用韦达定理。另一种常用途径见下例。例3、焦点在x轴上的椭圆c的一顶点为B（0，-1），右焦点到直线m：x-y+=0的距离为3，（1）求c的方程；（2）是否存在斜率k≠0的直线与c交于两点M、N，使|BM|=|BN|？若存在，求出k的取值范围；若不存在，注明理由。解题思路分析：（1）设椭圆方程为（a>b>0）则b=1，右焦点F（c，0）3 ∴c=（舍），或c=∴c2=2，a2=b2+c2=3∴椭圆c的方程为思路一：设M（x1，y1），N（x2，y2），MN中点P（x0，y0）则两式相减得：(x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0显然x1...
