湖北省恩施巴东县第一高级中学高中数学 §1.3.2 球的体积和表面积教案 新人教A版必修2 VIP免费

§1.3.2球的体积和表面积一、教材分析本节教材直接给出了球的表面积和体积公式，并用两个例题来说明其应用.值得注意的是教学的重点放在球与其他几何体的组合体的有关计算上，这是高考的重点.二、教学目标1．知识与技能（1）了解几何体体积的含义，以及柱体、锥体与台体的体积公式.（不要求记忆公式）（2）熟悉台体与柱体和锥体之间体积的转换关系.（3）培养学生空间想象能力和思维能力.2．过程与方法（1）让学生通过对照比较，理顺柱体、锥体、台体之间的体积关系.（2）通过相关几何体的联系，寻找已知条件的相互转化，解决一些特殊几何体体积的计算.3．情感、态度与价值观通过柱体、锥体、台体体积公式之间的关系培养学生探索意识.三、重点难点教学重点：球的表面积和体积公式的应用.教学难点：关于球的组合体的计算.四、课时安排约1课时五、教学设计（一）导入新课思路1.位于香港栈桥回澜阁西部、西陵峡路东端海滨，有一座新异奇秀的半球形建筑.由香港好世界饮食服务（中国）有限公司等三方合资兴建，1996年9月正式开业，既是岛城饮食服务业的“特一级”店，又是新增加的一处景点.酒店的总建筑面积11380平方米，现酒店管理层决定在半球形屋顶嵌上一层特殊化学材料以更好地保护酒店，那么，需要多少面积的这种化学材料呢？思路2.球既没有底面，也无法像柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？球的大小与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？教师引出课题：球的体积和表面积.（二）推进新课、新知探究球的半径为R，它的体积和表面积只与半径R有关，是以R为自变量的函数.事实上，如果球的半径为R，那么S=4πR2,V=.注意：球的体积和表面积公式的证明以后证明.（三）应用示例思路1例1如图1所示，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：图11（1）球的体积等于圆柱体积的；（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.活动：学生思考圆柱和球的结构特征，并展开空间想象.教师可以使用信息技术帮助学生读懂图形.证明：（1）设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R.则有V球=，V圆柱=πR2·2R=2πR3，所以V球=.（2）因为S球=4πR2，S圆柱侧=2πR·2R=4πR2，所以S球=S圆柱侧.点评：本题主要考查有关球的组合体的表面积和体积的计算.解决此类问题的关键是明确组合体的结构特征.变式训练1.如图2(1)所示，表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14,求这个正四棱柱的表面积.图2解：设球的半径为R，正四棱柱底面边长为a,则轴截面如图2（2），所以AA′=14,AC=,又 4πR2=324π,∴R=9.∴AC=.∴a=8.∴S表=64×2+32×14=576,即这个正四棱柱的表面积为576.2有一种空心钢球，质量为142g,测得外径（直径）等于5cm，求它的内径（钢的密度为7.9g/cm3，精确到0.1cm）.解：设空心球内径（直径）为2xcm,则钢球质量为7.9·［］=142,∴x3=≈11.3,∴x≈2.24,∴直径2x≈4.5.答：空心钢球的内径约为4.5cm.例2如图3所示，表示一个用鲜花做成的花柱，它的下面是一个直径为1m、高为3m的圆柱形物体，上面是一个半球形体.如果每平方米大约需要鲜花150朵，那么装饰这个花柱大约需要多少朵鲜花（π取3.1）?图3活动：学生思考和讨论如何计算鲜花的朵数.鲜花的朵数等于此几何体的表面积（不含下底面）与每朵2鲜花占用的面积.几何体的表面积等于圆柱的侧面积再加上半球的表面积.解：圆柱形物体的侧面面积S1≈3.1×1×3=9.3(m2),半球形物体的表面积为S2≈2×3.1×()2≈1.6(m2),所以S1+S2≈9.3+1.6=10.9(m2).10.9×150≈1635(朵).答：装饰这个花柱大约需要1635朵鲜花.点评：本题主要考查球和圆柱的组合体的应用，以及解决实际问题的能力.变式训练有一个轴截面为正三角形的圆锥容器，内放一个半径为R的内切球，然后将容器注满水，现把球从容器中取出，水不损耗，且取出球后水面与圆锥底面平行形成一圆台体，问容器中水的高度为多少？分析：转化为求水的体积.画出轴截面，充分利用轴截面中的直角三角形来解决.解：作出圆锥和球的轴截面图如图4所示，图4圆锥底面半径r=,圆锥母线l=2r=，圆锥高为h==3R，∴V水=·3R2·3R，球取出后，水形成一个圆台，下底面半径r=,设上底面半径为r′，...